Skript

Kapitel 4
Inverse Probleme der
Integralgeometrie
Bereits in der Einleitung haben wir uns das Beispiel der Computertomographie
angeschaut und es auf das Problem reduziert, eine Funktion aus den Integralen
über niederdimensionale Mannigfaltigkeiten zu berechnen. Wir werden dieses
Problem in diesem Kapitel für Linien- bzw Ebenen-Integrale im R 2 und R 3 analytisch
lösen.
In fast allen Büchern zu inversen Problemen findet sich dieses Standardproblem
zur Inversion der Radon–Transformation, denn einerseits ist die Computertomograhie
tatsächlich immer noch das Arbeitspferd der medizinischen
Bildverarbeitung (jetzt allerdings in direkter Konkurrenz zur Magnetresonanztomographie),
mit zahllosen weiteren Anwendungen von der Seismik (Laufzeiteninversion)
bis zur Temperaturbestimmung in Kraftwerken. Es ist mathematisch
eine äußerst dankbare Aufgabe, denn anders als beispielsweise bei der
Parameteridentifikation in partiellen Differentialgleichungen ist es vollständig
analytisch lösbar. Numerisch sind verschiedene optimale Algorithmen angebbar,
deren Stabilität bzw. Optimalität ebenfalls exakt gezeigt werden kann.
Mit anderen Worten: Die Inversion der Radontransformation ist ein optimales
Ziel für unser Arsenal an analytischen und numerischen Waffen. Dies bedeutet
leider, dass wir zunächst einige spezielle (funktional–) analytische Grundlagen
wiederholen oder erarbeiten müssen. Um die Leser nicht komplett zu
vergraulen, beginnen wir dieses Kapitel stattdessen mit einem Beispiel für die
Anwendung der Methoden der Singulärwertzerlegung auf die diskretisierte Radontransformation.
4.1 Radon: Ein erstes Beispiel
Als Beispiel betrachten wir folgendes Problem: Gesucht sei die Funktion f :
R 2 ↦→ R. Sei θ(ϕ) der Einheitsvektor (cos ϕ, sin ϕ) mit dem orthogonalen Vektor
θ ⊥ (ϕ) = (− sin ϕ, cos ϕ). Die Linien L(ϕ, s) im R 2 , senkrecht auf θ(ϕ), sei-
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