Skript

und daher
‖x α − x † ‖ ≤ ω µ (α)‖w‖.
Kombinieren wir dieses Ergebnis mit ‖x α − x δ α‖ ≤ C α δ erhalten wir schließlich
‖x δ α(δ) − x† ‖ ≤ ω µ (α)‖w‖ + C α δ.
Das Minimum auf der rechten Seite ergibt sich dann für α, so dass ωµ(α)
C α
‖w‖ =
δ. Für den Fall ω µ (α) = α µ und C α = √ 1
α
ergibt sich
und damit schließlich
α(δ) =
( ) δ 2/(2µ+1)
‖w‖
‖x δ α(δ) − x† ‖ ≤ 2δ 2µ/(2µ+1) ‖w‖ 1/(2µ+1) . (3.6)
Wir sehen dass, egal wie groß µ gewählt wird, die Konvergenzrate δ 2µ/(2µ+1)
immer von kleinerer Ordnung ist als δ. Dies ist wieder eine Konsequenz der
schlecht-gestelltheit des Problems: Der Fehler in der Lösung kann nicht mit
der Gleichen Ordnung reduziert werden wie der Datenfehler - Es geht immer
Information verloren. Man kann zeigen (cf. [4]), das ein Fehler der Ordnung
δ 2µ/(2µ+1) der kleinste Fehler ist, denn man unter der Bedingung (??), erreichen
kann und daher sind die Regulariserungsmethoden hier von optimaler
Ordnung (optimal order) .
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