Skript

Durch die Unstetigkeit an 0 wird die Konvergenz immer langsamer, wenn t zu
0 konvergiert. Da wir auf der anderen Seite immer beliebig kleine σ n und zugehörige
Minimum-Norm-Lösungen x † = u n finden können, tritt dieser Fall
auch wirklich ein. Wir sehen aus dem Beweis jedoch auch, dass eine schnellere
Konvergenz möglich wäre, wenn die Komponenten (x † , u n ) im Vergleich
zu den Singulärwerten schnell genug abfallen. Wenn wir z.B. wüßten, dass
|(x † , u n )| ≤ cσ n µ für Konstanten c > 0, µ > 0 gelten würde, so erhielten wir
lim sup
α
‖R α y − A † y‖ 2 ≤ lim sup
α
≤ c 2
∞ ∑
n=1
c 2
∞ ∑
n=1
(σ n g α (σ n ) − 1) 2 σ 2µ
n
lim
α
(
σ
1+µ
n g α (σ n ) − σ µ n) 2
.
d.h. relevant ist jetzt das Konvergenzverhalten der Funktion t → |t 1+µ g α (t) −
t µ | für t → ∞ (und dieses ist normalerweise viel schneller), z.B. erhalten wir
im Fall der abgeschnittenen Singulärwertzerlegung
{
|t 1+µ g α (t) − t µ 0 falls t ≥ α,
| =
t µ falls t < α.
Dieses Verhalten kann durch sogenannte Quellbedingungen (source-conditions)
erreicht werden. Ein klassisches Beispiel ist
∃w ∈ X, so dass x † = (T ∗ T ) µ w,
wobei der Ausdruck (T ∗ T ) µ durch Spektraltheorie definiert ist als
∞∑
(T ∗ T ) µ w = σn 2µ (w, u n )u n .
Daraus folgt insbesondere
n=1
(x † , u n ) = σ 2µ
n (w, u n ),
d.h. die Koeffizienten von x † (bzgl. des n-ten Singularvektors) fallen schneller
ab als σn 2µ . Wenn wir eine Konvergenzrate erhalten wollen, so muss diese auch
von der Funktion g α abhängen. Wir nehmen daher zusätzlich an
t µ |tg α (t) − 1| ≤ ω µ (α), ∀t > 0,
typischerweise z.B. ω µ (α) = α µ , wie bei der abgeschnittenen Singulärwertzerlegung.
Unter diesen Vorraussetzungen können wir die Abschätzung aus dem
Beweis zu Satz 3.1.5 wie folgt modifizieren:
∞∑
‖R α y − T † y‖ 2 ≤ (σ n g α (σ n ) − 1) 2 (x † , u n ) 2
=
n=1
∞∑
(σ n g α (σ n ) − 1) 2 σn 2µ (w, u n ) 2
n=1
≤ ω µ (α) 2 ‖w‖ 2 .
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