Skript
Skript Skript
Theorem 3.1.6. Seien g α and γ wie im vorherigen Satz 3.1.5, und sei x α := R α y, x δ α := R α y δ . Dann gilt ‖T x α − T x δ α‖ ≤ γδ, (3.4) und ‖x α − x δ α‖ ≤ C α δ, . (3.5) Beweis. Aus der Singulärwertzerlegung ergibt sich sofort ‖T x α − T x δ α‖ 2 ∞∑ ≤ σng 2 α (σ n ) 2 |(y − y δ , v n )| 2 n=1 ∑ ∞ ≤ γ 2 |(y − y δ , v n )| 2 = γ 2 ‖y − y δ ‖ 2 ≤ (γδ) 2 , n=1 un damit (3.4). Analog erhalten wir die Abschätzung ‖x α − x δ α‖ 2 und damit (3.5). ≤ ≤ ∞∑ g α (σ n ) 2 |(y − y δ , v n )| 2 n=1 ∞∑ |(y − y δ , v n )| 2 = Cα‖y 2 − y δ ‖ 2 ≤ (C α δ) 2 , n=1 Zusammen ergeben diese beiden Resultate: Theorem 3.1.7. Sei g α : R + → R stückweise stetig und sei sup(σg α (σ)) ≤ γ, α,σ mit einer Konstanten γ > 0. Definiere x α := R α y und x δ α := R α y δ . Gilt nun lim C α(δ,y δ→0 δ )δ = 0, dann folgt: x α(δ,y δ ) → x † für δ → 0. 3.2 Konvergenzraten Auf dem Beweis von Theorem 3.1.5 sehen wir, dass die Konvergenz im Allgemeinen beliebig langsam sein kann. Die Funktion σ → σg α (σ) konvergiert nämlich punktweise gegen { 0 falls σ > 0, g(σ) = 1 falls σ = 0. 35
Durch die Unstetigkeit an 0 wird die Konvergenz immer langsamer, wenn t zu 0 konvergiert. Da wir auf der anderen Seite immer beliebig kleine σ n und zugehörige Minimum-Norm-Lösungen x † = u n finden können, tritt dieser Fall auch wirklich ein. Wir sehen aus dem Beweis jedoch auch, dass eine schnellere Konvergenz möglich wäre, wenn die Komponenten (x † , u n ) im Vergleich zu den Singulärwerten schnell genug abfallen. Wenn wir z.B. wüßten, dass |(x † , u n )| ≤ cσ n µ für Konstanten c > 0, µ > 0 gelten würde, so erhielten wir lim sup α ‖R α y − A † y‖ 2 ≤ lim sup α ≤ c 2 ∞ ∑ n=1 c 2 ∞ ∑ n=1 (σ n g α (σ n ) − 1) 2 σ 2µ n lim α ( σ 1+µ n g α (σ n ) − σ µ n) 2 . d.h. relevant ist jetzt das Konvergenzverhalten der Funktion t → |t 1+µ g α (t) − t µ | für t → ∞ (und dieses ist normalerweise viel schneller), z.B. erhalten wir im Fall der abgeschnittenen Singulärwertzerlegung { |t 1+µ g α (t) − t µ 0 falls t ≥ α, | = t µ falls t < α. Dieses Verhalten kann durch sogenannte Quellbedingungen (source-conditions) erreicht werden. Ein klassisches Beispiel ist ∃w ∈ X, so dass x † = (T ∗ T ) µ w, wobei der Ausdruck (T ∗ T ) µ durch Spektraltheorie definiert ist als ∞∑ (T ∗ T ) µ w = σn 2µ (w, u n )u n . Daraus folgt insbesondere n=1 (x † , u n ) = σ 2µ n (w, u n ), d.h. die Koeffizienten von x † (bzgl. des n-ten Singularvektors) fallen schneller ab als σn 2µ . Wenn wir eine Konvergenzrate erhalten wollen, so muss diese auch von der Funktion g α abhängen. Wir nehmen daher zusätzlich an t µ |tg α (t) − 1| ≤ ω µ (α), ∀t > 0, typischerweise z.B. ω µ (α) = α µ , wie bei der abgeschnittenen Singulärwertzerlegung. Unter diesen Vorraussetzungen können wir die Abschätzung aus dem Beweis zu Satz 3.1.5 wie folgt modifizieren: ∞∑ ‖R α y − T † y‖ 2 ≤ (σ n g α (σ n ) − 1) 2 (x † , u n ) 2 = n=1 ∞∑ (σ n g α (σ n ) − 1) 2 σn 2µ (w, u n ) 2 n=1 ≤ ω µ (α) 2 ‖w‖ 2 . 36
- Seite 1 und 2: Inverse und schlecht gestellte Prob
- Seite 3 und 4: 5.4 Konjugierte-Gradienten-Verfahre
- Seite 5 und 6: also Stationär: Beispiele: SAR, St
- Seite 7 und 8: d.h. die Genauigkeit der Approximat
- Seite 9 und 10: Bemerkung 1.2.1. 1. Die obige Rechn
- Seite 11 und 12: zeigt, dass neben der Probleme, die
- Seite 13 und 14: Wir entwickeln die gesuchte Funktio
- Seite 15 und 16: Kapitel 2 Grundlagen Wie wir in den
- Seite 17 und 18: • A ist stetig bezüglich L 2 (Ω
- Seite 19 und 20: Definition 2.1.3 (kleinste Quadrate
- Seite 21 und 22: Bemerkung 2.1.12. karl • A ∗ Ax
- Seite 23 und 24: Da A kompakt ist, besitzt (y n ) n
- Seite 25 und 26: Theorem 2.2.10. Sei A ∈ L(X, Y )
- Seite 27 und 28: Durch Koeffizientenvergleich folgt:
- Seite 29 und 30: Kapitel 3 Regularisierungstheorie I
- Seite 31 und 32: Beweis. Sei y ∈ D(T † ) beliebi
- Seite 33 und 34: und weiterhin gilt. lim δC α(δ)
- Seite 35: Normalengleichungen. Außerdem ist
- Seite 39 und 40: Kapitel 4 Inverse Probleme der Inte
- Seite 41 und 42: zu θ(ϕ k ) durchgeführt, daher h
- Seite 43 und 44: 4.2 Funktionalanalytische Grundlage
- Seite 45 und 46: ̂f a (ξ) = (2π) −n/2 ∫ R n =
- Seite 47 und 48: Satz 4.2.5. (Faltungssatz) Seien f,
- Seite 49 und 50: aber f ∉ L 2 (R 2 ). Die Fouriert
- Seite 51 und 52: Wir definieren also allgemein die A
- Seite 53 und 54: keinen Sinn, den das hintere Integr
- Seite 55 und 56: S(C) definiert durch (Rf)(θ, s) =
- Seite 57 und 58: = (2π) 1/2 ̂f(ξ) □ Satz 4.2.20
- Seite 59 und 60: ist ˜f(x) zumindest schon mal posi
- Seite 61 und 62: Theorem 4.2.27. Sei 0 ≤ α < n. D
- Seite 63 und 64: Cormack eine alternative Formel her
- Seite 65 und 66: Beweis: Sei ohne Einschränkung α
- Seite 67 und 68: g k = (2π/h) −n ∫ g(ξ)e i(kh)
- Seite 69 und 70: Man kann sich fragen, was die Bandb
- Seite 71 und 72: Beweis: Sei w ∈ S(R n ) eine Test
- Seite 73 und 74: c k = 1 (2π) 1/2 ∫ ||y|| |x| (De
- Seite 75 und 76: 4.4 Was fehlt? Fanbeam. Interlaced
- Seite 77 und 78: die sogenannte Landweber iteration.
- Seite 79 und 80: Primal Adjungiert messungen unbekan
- Seite 81 und 82: Nichtlineare Probleme Wir diskutier
- Seite 83 und 84: We finally mention that any suitabl
- Seite 85 und 86: 5.5 Konjugierte Gradienten (Frank)
Theorem 3.1.6. Seien g α and γ wie im vorherigen Satz 3.1.5, und sei x α := R α y,<br />
x δ α := R α y δ . Dann gilt<br />
‖T x α − T x δ α‖ ≤ γδ, (3.4)<br />
und<br />
‖x α − x δ α‖ ≤ C α δ, . (3.5)<br />
Beweis. Aus der Singulärwertzerlegung ergibt sich sofort<br />
‖T x α − T x δ α‖ 2<br />
∞∑<br />
≤ σng 2 α (σ n ) 2 |(y − y δ , v n )| 2<br />
n=1<br />
∑<br />
∞<br />
≤ γ 2 |(y − y δ , v n )| 2 = γ 2 ‖y − y δ ‖ 2 ≤ (γδ) 2 ,<br />
n=1<br />
un damit (3.4). Analog erhalten wir die Abschätzung<br />
‖x α − x δ α‖ 2<br />
und damit (3.5).<br />
≤<br />
≤<br />
∞∑<br />
g α (σ n ) 2 |(y − y δ , v n )| 2<br />
n=1<br />
∞∑<br />
|(y − y δ , v n )| 2 = Cα‖y 2 − y δ ‖ 2 ≤ (C α δ) 2 ,<br />
n=1<br />
Zusammen ergeben diese beiden Resultate:<br />
Theorem 3.1.7. Sei g α : R + → R stückweise stetig und sei<br />
sup(σg α (σ)) ≤ γ,<br />
α,σ<br />
mit einer Konstanten γ > 0. Definiere x α := R α y und x δ α := R α y δ . Gilt nun<br />
lim C α(δ,y<br />
δ→0 δ )δ = 0,<br />
dann folgt:<br />
x α(δ,y δ ) → x † für δ → 0.<br />
3.2 Konvergenzraten<br />
Auf dem Beweis von Theorem 3.1.5 sehen wir, dass die Konvergenz im Allgemeinen<br />
beliebig langsam sein kann. Die Funktion σ → σg α (σ) konvergiert nämlich<br />
punktweise gegen<br />
{ 0 falls σ > 0,<br />
g(σ) =<br />
1 falls σ = 0.<br />
35