Skript

Theorem 3.1.6. Seien g α and γ wie im vorherigen Satz 3.1.5, und sei x α := R α y,
x δ α := R α y δ . Dann gilt
‖T x α − T x δ α‖ ≤ γδ, (3.4)
und
‖x α − x δ α‖ ≤ C α δ, . (3.5)
Beweis. Aus der Singulärwertzerlegung ergibt sich sofort
‖T x α − T x δ α‖ 2
∞∑
≤ σng 2 α (σ n ) 2 |(y − y δ , v n )| 2
n=1
∑
∞
≤ γ 2 |(y − y δ , v n )| 2 = γ 2 ‖y − y δ ‖ 2 ≤ (γδ) 2 ,
n=1
un damit (3.4). Analog erhalten wir die Abschätzung
‖x α − x δ α‖ 2
und damit (3.5).
≤
≤
∞∑
g α (σ n ) 2 |(y − y δ , v n )| 2
n=1
∞∑
|(y − y δ , v n )| 2 = Cα‖y 2 − y δ ‖ 2 ≤ (C α δ) 2 ,
n=1
Zusammen ergeben diese beiden Resultate:
Theorem 3.1.7. Sei g α : R + → R stückweise stetig und sei
sup(σg α (σ)) ≤ γ,
α,σ
mit einer Konstanten γ > 0. Definiere x α := R α y und x δ α := R α y δ . Gilt nun
lim C α(δ,y
δ→0 δ )δ = 0,
dann folgt:
x α(δ,y δ ) → x † für δ → 0.
3.2 Konvergenzraten
Auf dem Beweis von Theorem 3.1.5 sehen wir, dass die Konvergenz im Allgemeinen
beliebig langsam sein kann. Die Funktion σ → σg α (σ) konvergiert nämlich
punktweise gegen
{ 0 falls σ > 0,
g(σ) =
1 falls σ = 0.
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