Skript

Normalengleichungen. Außerdem ist diese Gleichung die erste Ordnung Optimalitätsbedingung
des Funktionals
J α (x) := ‖T x − y‖ 2 + α‖x‖ 2 → min
x∈X ,
vgl. Differentiationsbsp. in Kapitel 1. Weiterhin ist J α strikt konvex für α > 0,
denn es gilt
J ′′
α(x)(φ, φ) := 2‖T φ‖ 2 + 2α‖φ‖ 2 > 0.
Da außerdem lim ‖x‖→∞ J α (x) = ∞ gilt ist x α das eindeutige Minimum des
Funktionals. Diese Darstellung der Tikhonovregularisierung erlaubt insbesondere
die Erweiterung auf nichtlinear Operatoren!
Als nächstes Betrachten wir den Fall, dass Fehlerbehaftete Daten y δ vorliegen
(und benutzen die Natiation x δ α := R α y δ ). Für den Fehler gilt dann
x † − x δ α = (x † − x α )
} {{ }
+ (x α − x δ
} {{ α)
}
Fehler durch Reg. Fehler durch Datenfehler.
Und mit der Dreiecksungleichung natürlich
‖x † − x δ α‖ ≤ ‖x † − x α ‖ + ‖x α − x δ α‖.
Theorem 3.1.5. Sei g α : R + → R eine stückweise stetige Funktion und sei
sup(σg α (σ)) ≤ γ,
α,σ
für konstantes γ ≥ 0. Sei weiterhin R α der Regularisierungoperator definiert in
3.3, dann gilt für alle y ∈ D(T † )
n=1
R α y → T † y für α → 0.
Beweis. Nach der Singulärwertzerlegung gilt:
∞∑
(
R α y − T † y = g α (σ n ) − 1 )
∞∑
(y, v n )u n = (σ n g α (σ n ) − 1) (x † , u n )u n .
σ n
Nach Vorraussetzung gilt
∥ ∞∑
∥∥∥∥ (σ n g α (σ n ) − 1) (x † , u n )u n ≤
∥
n=1
n=1
∞∑
| (σ n g α (σ n ) − 1) (x † , u n )u n | ≤ (γ+1)‖x † ‖,
und daher (nach dem Majorantenkriterium von Weierstrass)
∞∑
lim sup ‖R α y − T † y‖ ≤ lim sup (σ n g α (σ n ) − 1) 2 (x † , u n ) 2
α
α
≤
∞∑
n=1
n=1
n=1
(
lim
α
σ n g α (σ n ) − 1) 2
(x † , u n ) 2 .
Aus der punktweisen Konvergenz von σg α (σ) → 1 folgern wir damit ‖R α y −
T † y‖ → 0 für α → 0.
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