Skript

Operator (und damit σ n = λ n und u n = v n ), so erhält man
(T + αI)x α =
=
=
=
∞∑
(σ n + α)(x α , u n )u n
n=1
∞∑
∞∑
(σ n + α)(
n=1
∞∑
n=1 m=1
m=1
1
σ m + α (y, v m)u m , u n )u n
∞∑
1
(σ n + α)
σ m + α (y, v m) (u m , u n )
} {{ }
∞∑
(y, u n )u n = y, , da u n = v n .
n=1
=δ n,m
u n
Das heißt, die regularisierte Lösung läßt sich ohne Kenntniss des Singulärsystems
berechnen als Lösung von
(T + αI)x α = y.
≤ 1
α erhalten wir wieder C α = 1 α
wieder konvergent, wenn gilt δ α → 0.
Da 1
σ+α
und die Regularisierung ist damit
Beispiel 3.1.4. Tikhonov(-Phillips) Regularisierung In diesem Fall nehmen wir
und damit
x α := R α y =
g α (σ) =
∞∑
n=1
σ
σ 2 + α
σ n
σ 2 n + α (y, v n)u n , ∀y ∈ Y.
Mit der Abschätzung σ 2 + α ≥ 2σ √ α erhalten wir
g α (σ) ≤ C α := 1
2 √ α
Wir erhalten daher als Bedingung für die Konvergenz der Methode
δ
√ α
→ 0.
Genau wie bei der Lavrentiev-Regularisierung oben kann man auch hier wieder
x α ohne Kenntniss des Singulärsystems berechenen. Man erhält:
(T ∗ T + αI)x α = T ∗ y.
Aus dieser Darstellung sehen wir, dass Tikhonov-Regularisierung nichts anderes
ist als die Anwendung der Lavrentiev-Regularisierung auf die Gaußschen
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