Skript

und weiterhin
gilt.
lim δC α(δ) = 0,
δ→0
Beweis. Nach Vorraussetzung gilt
‖R α y‖ 2 =
∞∑
∞∑
(g α (σ n )) 2 |(y, v n )| 2 ≤ Cα
2 |(y, v n )| 2 ≤ Cα‖y‖ 2 2 ,
n=1
d.h. C α ist eine obere Schranke für die Norm von R α . Aus der punktweisen
Konvergenz von g α schließen wir sofort die punktweise Konvergenz von R α
zu A † . Weiterhin kann die Bedingung lim δ→0 δ‖R α(δ) ‖ für die Parameterwahl
ersetzt werden durch
lim
δ→0 δC α(δ) = 0,
da ‖R α ‖ ≤ C α . Daher handelt es sich bei (R α , α) um eine konvergente Regularisierungsmethode.
Betrachten wir nun einige Beispiele:
Beispiel 3.1.2 (Abgeschnittene Singulärwertzerlegung (truncated singular value
decomposition)).
{ 1
g α(σ) := σ
falls σ ≥ α,
0 falls σ < α
bla di blub C α = 1 α blub
x α := R α y = ∑
σ n≥α
Beispiel 3.1.3 (Lavrentiev Regularisierung).
und damit
x α := R α y =
n=1
1
σ n
(y, v n )u n , ∀y ∈ Y.
g α (σ) = 1
σ + α
∞∑
n=1
1
σ n + α (y, v n)u n , ∀y ∈ Y.
Die Summe ist wirklich undendlich und das komplette Singulärsystem muss
bekannt sein, um die Lösung zu berechnen. Ist A ein positiver, semidefiniter
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