Skript

Nachdem wir in Lemma 3.0.12 gesehen haben, dass, wenn punktweise
Konvergenz gegeben ist, eine Parameterwahl existiert, charakterisieren wir diese
nun genauer:
Theorem 3.0.14. Sei T : X → Y ein stetiger, linearer Operator und sei R α :
Y → X eine Familie stetiger, linearer Regularisierungsoperatoren mit einer
a-priori Parameterwahl α = α(δ). Dann ist (R α , α) eine konvergente Regularisierungsmethode
genau dann wenn
gilt.
lim α(δ) = 0, lim
δ→0
δ‖R α(δ)‖ = 0.
δ→0
Beweis. “⇒“: Nach Vorr. gilt für y δ ∈ Y mit ‖y − y δ ‖ ≤ δ,
‖R α(δ) y δ − T † y‖ ≤ ‖x α(δ) − T † y‖ + ‖x α(δ) − R α(δ) y † ‖
≤ ‖x α(δ) − T † y‖ + δ‖R α(δ) ‖.
Nach Vorr. und da Regularisierungsoperatoren punktweise konvergieren geht
die Rechte Seite gegen 0 für δ → 0 und damit ist (R α , α) eine konvergente Regularisierungmethode.
”⇐“: Sei α eine a-priori Parameterwahl. Dann gilt lim δ→0 α(δ) = 0 nach Vorraussetzung.
Nehmen wir weiter an, dass die zweite Bedinung nicht gilt, dass
also eine Folge δ n → 0 existiert, so dass ‖δ n R α(δn)‖ ≥ C > 0 für alle n ∈ N.
Dann existiert eine Folge {z n } ∈ Y mit ‖z n ‖ = 1 so dass ‖δ n R α(δn)z n ‖ ≥ C/2.
Für y ∈ D(T † ) konstruiere nun y n := y + δ n z n , dann gilt dass
R α(δn) − T † y = (R α(δn)y − T † y) + δ n R α(δn)z n
nicht konvergiert, also ein Widerspruch zur Vorraussetzung.
3.1 Konstruktion von Regularisierungsmethoden
Wir widmen uns im folgenden der Frage, wie man Regulariserungsoperatoren
für (lineare) schlecht-gestellte Problem konstruieren kann. Ausgehend von der
Singulärwertzerlegung der verallgemeinerten Inversen betrachten wir die folgenden
Klasse von Regularisierungen:
R α y :=
∞∑
g α (σ n )(y, v n )u n , y ∈ Y. (3.3)
n=1
mit einer Funktion g α : R + → R, so dass g α (σ) → 1 σ
für σ > 0 und α → 0.
Theorem 3.1.1. Der Operator definiert durch (3.3) is eine Regularisierung falls
g α (σ) ≤ C α < ∞, ∀σ ∈ R +
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