Skript

gilt. Hier ist α : R + × Y → (0, α 0 ) so gewählt, dass
{
}
lim sup α(δ, y δ ) | y δ ∈ Y, ‖y δ − y‖ ≤ 0
δ→0
= 0 (3.2)
gilt. Für ein gegebenes y ∈ D(T † ) nennt man ein Paar (R α , α) eine (konvergente)
Regularisierungsmethode (zur Lösung von T x = y), falls (3.1) und (3.2)
erfüllt sind.
Definition 3.0.9. Für die Parameterwahl unterscheiden wir zwei Fälle:
• Hängt α nicht von y δ ab (also α = α(δ)), so heißt α a-priori Parameterwahl.
• Andernfalls heißt α a-posteriori Parameterwahl
Theorem 3.0.10. Sei T : X → Y ein beschränkter Operator und sei {R α } α eine
konvergenzte Regularisierung für T † mit einer Parameterwahl α, die nur von y δ
und nicht von δ selbst abhängt. Dann ist T † beschränkt und kann auf einene
steigen Operator von X nach Y erweitert werden.
Beweis. Sei α = α(y δ ). Nach Definition gilt dann
lim sup
δ→0
{
‖R α(y δ )y δ − T † y‖ | y δ ∈ Y, ‖y δ − y‖ ≤ 0
}
= 0
und daher insbesonder R α(y) y = T † y für alle y ∈ D(T † ). Weiter gilt für jede
Folge (y n ) ∈ D(T † ) mit Grenzwert y
T † y n = R α(yn)y → R α(y) y = T † y.
Daraus folgt, dass T † stetig ist auf D(T † ). Da D(T † ) Dicht ist in Y existiert eine
eindeutige, stetige Erweiterung von T † auf ganz Y .
Bemerkung 3.0.11. 1. Es gibt keine Fehlerfreien (error-free) Regularisierungsmethoden.
(In der Praxis trotzdem oft sinnvoll, aber aufpassen für δ klein)
2. Es stellen sich folgende Fragen:
• Wie kann man Regularisierungsoperatoren konstruieren?
• Wie erhält man eine Parameterwahl, so dass die zugehörigen Regularisierungen
konvergieren?
• Wie kann man dies “optimal” tun?
Lemma 3.0.12. Sei, für alle α > 0, R α ein stetiger (möglicherweise nichtlinearer)
Operator. Dann ist die Familie R α eine Regularisierung, wenn gilt:
R α → T † punktweise auf D(T † ) für α → 0.
Ist diese Bedingung erfüllt, so existiert für jedes y ∈ D(T † ) eine a-priori parameter
choice rule α = α(δ), so dass (R α , α) eine konvergente Regularisierung
für T x = y ist.
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