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Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 1.1 Beispiel: Transportgleichung ??? . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Beispiel: Differenzieren als inverses Problem . . . . . . . . . . 4 1.3 Beispiel: Inverse Wärmeleitungsgleichung . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Beispiel 4: Parameteridentifikation . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.1 Beispiel 5: Entrauschen von Bildern . . . . . . . . . . . 10 1.4.2 Beispiel 6: Laplace Gleichung auf Kreis und Ring . . . . 11 2 Grundlagen 14 2.1 Varallgemeinerte Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Kompakte, lineare Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Singulärwertzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 Regularisierungstheorie 28 3.1 Konstruktion von Regularisierungsmethoden . . . . . . . . . . 31 3.2 Konvergenzraten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4 Inverse Probleme der Integralgeometrie 38 4.1 Radon: Ein erstes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.2 Funktionalanalytische Grundlagen und Radontransformation . . 42 4.2.1 Fourier–Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.2.2 Temperierte Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.2.3 Radon–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.2.4 Sobolev–Abschätzungen für die Radontransformation . 62 4.3 Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.3.1 Shannons Abtasttheorem für bandbeschränkte Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.3.2 Implementation der gefilterten Rückprojektion . . . . . 69 4.4 Was fehlt? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5 Iterative Methoden 75 5.1 Landweber-Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.2 Newton-artige Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.3 Iterative Methods als Zeit-Diskrete Flüße (time-discrete flows) . 82 1
5.4 Konjugierte-Gradienten-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.5 Konjugierte Gradienten (Frank) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.5.1 Krylovraumverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.5.2 CG für schlecht gestellte Probleme . . . . . . . . . . . . 85 5.6 Kaczmarz–Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.7 Iterative Methoden für die Computertomographie . . . . . . . . 90 5.8 EM–Verfahren und statistische Methoden . . . . . . . . . . . . 91 5.8.1 Poisson–Verteilung und Emissionstomographie . . . . . 92 5.8.2 Statistische Regularisierung: Bayes–Schätzer für die Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.8.3 Statistische Regularisierung: Maximum Likelihood und EM–Verfahren für die Poissonverteilung . . . . . . . . . 96 6 Parameter Identifikation 97 2
Seite 1: Inverse und schlecht gestellte Prob
Seite 5 und 6: also Stationär: Beispiele: SAR, St
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Seite 9 und 10: Bemerkung 1.2.1. 1. Die obige Rechn
Seite 11 und 12: zeigt, dass neben der Probleme, die
Seite 13 und 14: Wir entwickeln die gesuchte Funktio
Seite 15 und 16: Kapitel 2 Grundlagen Wie wir in den
Seite 17 und 18: • A ist stetig bezüglich L 2 (Ω
Seite 19 und 20: Definition 2.1.3 (kleinste Quadrate
Seite 21 und 22: Bemerkung 2.1.12. karl • A ∗ Ax
Seite 23 und 24: Da A kompakt ist, besitzt (y n ) n
Seite 25 und 26: Theorem 2.2.10. Sei A ∈ L(X, Y )
Seite 27 und 28: Durch Koeffizientenvergleich folgt:
Seite 29 und 30: Kapitel 3 Regularisierungstheorie I
Seite 31 und 32: Beweis. Sei y ∈ D(T † ) beliebi
Seite 33 und 34: und weiterhin gilt. lim δC α(δ)
Seite 35 und 36: Normalengleichungen. Außerdem ist
Seite 37 und 38: Durch die Unstetigkeit an 0 wird di
Seite 39 und 40: Kapitel 4 Inverse Probleme der Inte
Seite 41 und 42: zu θ(ϕ k ) durchgeführt, daher h
Seite 43 und 44: 4.2 Funktionalanalytische Grundlage
Seite 45 und 46: ̂f a (ξ) = (2π) −n/2 ∫ R n =
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Seite 49 und 50: aber f ∉ L 2 (R 2 ). Die Fouriert
Seite 51 und 52: Wir definieren also allgemein die A
Seite 53 und 54:
keinen Sinn, den das hintere Integr
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S(C) definiert durch (Rf)(θ, s) =
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= (2π) 1/2 ̂f(ξ) □ Satz 4.2.20
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ist ˜f(x) zumindest schon mal posi
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Theorem 4.2.27. Sei 0 ≤ α < n. D
Seite 63 und 64:
Cormack eine alternative Formel her
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Beweis: Sei ohne Einschränkung α
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g k = (2π/h) −n ∫ g(ξ)e i(kh)
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Man kann sich fragen, was die Bandb
Seite 71 und 72:
Beweis: Sei w ∈ S(R n ) eine Test
Seite 73 und 74:
c k = 1 (2π) 1/2 ∫ ||y|| |x| (De
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4.4 Was fehlt? Fanbeam. Interlaced
Seite 77 und 78:
die sogenannte Landweber iteration.
Seite 79 und 80:
Primal Adjungiert messungen unbekan
Seite 81 und 82:
Nichtlineare Probleme Wir diskutier
Seite 83 und 84:
We finally mention that any suitabl
Seite 85 und 86:
5.5 Konjugierte Gradienten (Frank)
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Satz 5.5.2. Gesucht sei die Lösung
Seite 89 und 90:
3. Sei m j = 1, ω = 1, C k = (A k
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linearisiert. Seien also nun die R
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entsprechend statistisch optimale R
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L(f) heißt Likelihoodfunktion. Man
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und das ist die erweiterte Form der
Seite 99 und 100:
Literaturverzeichnis [1] Ȧ. Björc
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