Skript

Kapitel 3
Regularisierungstheorie
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Regularisierungstheorie und folgen
dabei im wesentlichen der Darstellung in [4, Kapitel 3 und 4].
Die grundlegende Idee hier ist es, dass schlechtgestellte Problem durch ein
Familie von gutgestellten Problemen zu approximieren, die im Limes wieder
gegen das ursprüngliche Problem konvergieren. Betrachten wir folgende Situation:
Wir suchen die kleinste-quadrate Lösung x † = T † y der Gleichung
T x = y,
wobei T : X → Y und wir von der rechten Seite (die Daten) nur eine gestörte
(oder verrauschte) version y δ kennen für die
‖y − y δ ‖ ≤ δ
gilt. Wenn das Problem schlecht gestellt ist, wird T † y δ im allgemeinen nicht
existieren, da D(T † ) ein echter Teilraum von Y ist. Selbst wenn T † y δ existiert,
wird es in Anbetracht der schlechtgestelltheit des Problems im allgemeinen
keine gute Approximation der korrekten Lösung sein. Wir suchen daher eine
Approximation x δ α von x † die einerseits stetig von den gestörten Daten abhängt
und die andererseits gegen x † konvergiert, wenn der Regularisierungsparameter
α passend gewählt ist und δ gegen null geht.
Definition 3.0.8. Sei T : X → Y ein beschränkter, linearer Operator zwischen
den Hilberräumen X und Y und sei α 0 ∈ (0, ∞]. Für jedes α ∈ (0, α 0 ) sei
R α : Y → X
ein stetiger (nicht notwendigerweise linearer) Operaror. Die Familie {R α } α heißt
Regularisierung oder Regularisierungsoperator (für T † ) falls, für alle y ∈ D(T † ),
eine Parameterwahl α = α(δ, y δ ) existiert so dass
lim sup
δ→0
{
‖R α(δ,y δy δ − T † y‖ | y δ ∈ Y, ‖y δ − y‖ ≤ 0
}
= 0 (3.1)
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