Skript

und gegebener Temperatur zum Zeitpunkt t = 1, d.h.
u(x, 1) = f(x), x ∈ [0, π] und mit f(0) = f(π) = 0.
Unser Ziel ist wieder die Bestimmung der initialen Temperatur
u 0 (x) := u(x, 0), x ∈ [0, π].
√
2
Die Funktionen φ n (x) :=
π
sin(nx) sind ein vollständiges Orthogonalsystem
auf L 2 ((0, π)) und außerdem Eigenfunktionen des Operators d2 auf [0, π]. Wir
dx 2
können daher die Funktion u 0 ∈ L 2 ((0, π)) darstellen als
u 0 (x) =
√ ∞∑
2
c n φ n (x), x ∈ [0, π], mitc n =
π
n=1
∫ π
0
v 0 (y) sin(ny) dy.
Mit dem gleichen Ansatz wie in [4] erhalten wir daher als Lösung des Direkten
Problems
∞∑
u(x, t) = c n e −n2t φ n (x).
n=1
Entwicklung von f(x) ergibt schließlich
Da
folgt schließlich
f(x) = u(x, 1) =
= 2 π
∞∑
c n e −n2 φ n (x)
n=1
k(x, τ) := 2 π
∫ π
0
∞∑
∫ π
n=1
0
v 0 (τ) sin(nτ) dτe −n2 sin(nx).
∞∑
e −n2 sin(nx) sin(nτ)
n=1
k(x, y)u 0 (y) dy = f(x).
Ein singuläres System für diesen Integraloperator ist dann also gegeben durch
( √ √ )
2 2
π sin(nx), π sin(nx)
e −n2 ,
.
Bla di blub
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