Skript

Durch Koeffizientenvergleich folgt:
(x † , u n ) = 1
σ n
(y, v n ),
und damit die Singulärwertzerlegung von A † .
Bemerkung 2.3.5. • Im Gegensatz zur Singulärwertzerlegung von A und
A ∗ konvergiert die Summe nicht immer. Dies ist Ausdruck der Unbeschränktheit
der verallgemeinerten Inversen! Das sogenannte Picard-Kriterium zur
Konvergenz lautet
∞∑
‖A † y‖ 2 (y, v n ) 2
=
n=1
σ 2 n
≤ C < ∞.
• Stabilität: Gleichung (2.3) zeigt, wie Fehler in y sich auf K † y auswirken:
Wenn man den Fehler in der Basis {u n } darstellt, gilt: Komponenten mit
großen Singulärwerten sind Harmlos (enspricht “niedriegen Frequenzen”),
Komponenten mit kleinen σ n werden verstärkt (mit 1/σ n ). Wenn dim(R(A)) <
∞, dann ex. nur endlich viele Singulärwerte, d.h. 1/σ n ist beschränkt
(kann aber immernoch bel. groß sein). Falls dim(R(A)) = ∞ gilt lim n→∞ σ n =
0 und der Fehler beliebig groß: Sei y δ,n = y + δu n . Dann gilt ‖y − y δ,n ‖ =
δ, aber
A † y − A † y δ,n = (δu n, u n )
v n
σ n
und damit
‖A † y − A † y δ,n ‖ = δ
σ n
→ ∞ für n → ∞.
Definition 2.3.6 (Unterscheidung inverser Probleme). • Mild schlecht gestellt
(mildly ill-posed) werden Problem genannt deren Singulärwerte höchstens
mit polinomial schnell abfallen, d.h. es gibt γ, C > 0, so dass σ n ≥
Cn −γ für n groß genug.
• blub (severly ill-posed) heißen Probleme bei denen die Singulärwerte
schneller als polinomial abfallen, d.h. σ n ≤ Cn −γ für n groß genug.
Für numerische Differenziation gilt z.B. (n −1 ).
Beispiel 2.3.7 (Heat Equation). Wie betrachten wieder die Rückwärts-Wärmeleitungsgleichung
in 1d, also das Problem
u t (x, t) = u xx (x, t), x ∈ [0, π], t > 0,
mit homogenen Dirichlet Randwerten, also
u(0, t) = u(π, t) = 0, t > 0,
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