Skript

. Da σ˜
2 n ein Eigenwert von C mit Eigenvektor v n ist, gilt
σ˜
2 n A ∗ v n = A ∗ Cv n = A ∗ AA ∗ v n = BA ∗ v n ,
d.h. σ˜
2 n ist ebenfalls ein Eigenwert von B, mit Eigenvektor A ∗ v n . Analog folgt,
dass σn 2 ein Eigenwert von von C ist (mit Eigenvektor Au n ). Es gibt also eine
bijektive Abbildung zwischen σ˜
2 n und σn 2 und wir können daher (o.B.d.A) annehmen,
dass
σ˜
2 n = σn 2 und v n = Au n
‖Au n ‖ .
Wir nennen (σ n , u n , v n ) ein singuläres System. Dies ist die Basis für die Singulärwertzerlegung
(singular value decomposition) von kompakten, linearen
Operatoren:
Theorem 2.3.2.
analog für A ∗ :
Ax =
A ∗ y =
∞∑
σ n (x, u n )v n , ∀x ∈ X,
n=1
∞∑
σ n (x, v n )u n , ∀y ∈ Y,
n=1
Bemerkung 2.3.3 (Wohldefiniertheit). Die Summen in der Singulärwertzerlegung
von A und A ∗ konvergieren, da die Koeffizienten (x, u n ) (bzgw. (y, v n ))
quadratintegrabel sind, da die singulärvektoren u n , v n orthogonal sind und da
die Singulärwerte beschränkt sind. Es gilt
∥ N∑
∥∥∥∥
2
N∑
N∑
σ
∥ n (x, u n )v n ≤ σn(x, 2 u n ) 2 v n ≤ σ1
2 (x, u n ) 2 ≤ σ1‖x‖ 2 2 .
n=1
n=1
Da diese Schranke nicht von N abhängt, existiert der Limes N → ∞ (Analog
für A ∗ ).
Mit Hilfe der Singulärwertzerlegung erhalten wir die folgende Darstellung
der Moore-Penrose inversen:
Theorem 2.3.4. Sei A ∈ L(X, Y ) kompakt. Sei weiter (σ n , u n , v n ) ein Singulärsystem
von A. Dann kann die Moore-Penrose Inverse von Ax = y dargestellt
werden durch
x † = A † y =
∞∑
n=1
n=1
Beweis. Es gilt A † = (A ∗ A) † A ∗ y und daher mit x † = A † y
∞∑
σn(x 2 † , u n )u n = A ∗ Ax † = A ∗ y =
n=1
25
1
σ n
(y, v n )u n . (2.3)
∞∑
σ n (y, v n )u n .
n=1