Skript

Theorem 2.2.10. Sei A ∈ L(X, Y ) kompakt und selbstadjungiert. Dann häufen
sich die Eigenwerte von A höchstens bei 0, d.h. wenn λ n eine Folge von
Eigenwerten von A ist, so dass
dann ist λ = 0.
λ n → λ wenn n → ∞
Beweis. Da (λ n ) eine Folge von Eigenwerten, die gegen ein c ≠ 0 konvergiert
für n → ∞. Sei weiterhin φ das zugehörige ONS aus Eigenvektoren. Dann gilt
( )
∥ 1
A φ n = φ n wobei
1 ∥∥∥
µ n
∥ φ n = 1 , also beschränkt.
µ n |µ n |
Nach definition der Kompaktheit müßte also φ n ein Konvergenze Teilfolge enthalten,
was jedoch ein Widerspruch zu φ n ONS ist.
2.3 Singulärwertzerlegung
Selbstadjungierte, kompakte Operatoren entsprechen am ehesten den Matrizen
aus dem endlichdimensionalen Fall. Insbesondere gibt es ein Äquivalent
zur Spektralzerlegung:
Theorem 2.3.1 (Spektralsatz für kompakte, selbstadjungierte Operatoren). Sei
A ∈ L kompakt, selbstadjungiert. Sei λ n die Folge der Eigenwerte und x n die
zugehörigen, normalisierten Eigenvektoren. Dann gilt
.
∞∑
Ax = λ n x n (x, x n ) X
n=1
Beweis.
Ist der Operator A nicht selbstadjungiert können wir (immer noch analog
zu Matrizen) die Operatoren B := A ∗ A und C := AA ∗ definieren. Diese beiden
Operatoren sind immer noch kompakt, selbstadjungiert und sogar positiv
definit. Daher gibt es für beide eine Spektralzerlegung:
und
∞∑
Bx = σnu 2 n (x, u n ) X
n=1
∞∑
Cy = ˜σ nu 2 n (y, u n ) Y
n=1
∀x ∈ X
∀x ∈ Y
24