Skript
Skript Skript
Theorem 2.2.8. Sei A ∈ L(X, X) kompakt und selbstadjungiert. Dann existiert eine Hilbertbasis aus Eigenvektoren von A und für jedes f ∈ X gilt die Darstellung f = ∑ (f, φ i )φ i + f 0 , i mit Af 0 = 0. Beweis. Sei (λ n ) n≥1 die Folge aller nicht verschwindenden Eigenwerte von A. Setze λ 0 = 0, E 0 = N(A), und E n = N(A − λ n I). Es gilt (s.o.) 0 ≤ dim(E 0 ) ≤ ∞ und 0 < dim(E n ) < ∞. Zu zeigen: H = ⊕ n≥0 E n. • Die Räume (E n ) n≥0 sind orthogonal: Sei u ∈ E n , v ∈ E m , n ≠ m, dann gilt λ m (u, v) = (T u, v) = (u, T v) = λ n (u, v), und da λ n ≠ λ m folgt (u, v) = 0. • Sei F der Raum aufgespannt von den Räumen (E n ) n≥0 . Zu zeigen: F ist Dicht in H. Es ist klar, dass A(F ) ⊂ F . Sei nun u ∈ F ⊥ dann gilt und daher A(F ⊥ ) ⊂ F ⊥ . Sei (T u, v) = (u, T v) = 0, ∀v ∈ F, T 0 := T | F ⊥ . T 0 ist wieder selbstadjungiert und kompakt. Wir zeigen nun per Widerspruch dass σ(T 0 ) = 0 und damit T 0 = 0: Nehme also an, es ex. λ ≠ 0 mit T 0 u = λu. Damit ist λ aber auch einer der Eigenwerte von T , o.b.D.a. λ n mit n ≥ 1. Daher ist u ∈ E n ⊂ F . Da aber u ∈ F ∩ F ⊥ folgt, dass u = 0, also ein Widerspruch und daher T 0 = 0. Damit folgt schließlich F ⊥ ⊂ N(T ). Da auf der anderen Seite gilt aber N(T ) ⊂ F und damit F ⊥ ⊂ F . Daraus folgt F ⊥ = 0 und F dicht in H. Theorem 2.2.9. Sei W der Eigenraum eines kompakten Operators zum Eigenwert µ ≠ 0. Dann ist W endlichdimensional. Beweis. Sei (g n ) n ein Orthonormalsystem in W . Dann gilt ‖Ag n − Ag m ‖ = µ‖g n − g m ‖ = √ 2µ. ⇒ Ag n besitzt keine konvergente Teilfolge ⇒ (g n ) ist endlich 23
Theorem 2.2.10. Sei A ∈ L(X, Y ) kompakt und selbstadjungiert. Dann häufen sich die Eigenwerte von A höchstens bei 0, d.h. wenn λ n eine Folge von Eigenwerten von A ist, so dass dann ist λ = 0. λ n → λ wenn n → ∞ Beweis. Da (λ n ) eine Folge von Eigenwerten, die gegen ein c ≠ 0 konvergiert für n → ∞. Sei weiterhin φ das zugehörige ONS aus Eigenvektoren. Dann gilt ( ) ∥ 1 A φ n = φ n wobei 1 ∥∥∥ µ n ∥ φ n = 1 , also beschränkt. µ n |µ n | Nach definition der Kompaktheit müßte also φ n ein Konvergenze Teilfolge enthalten, was jedoch ein Widerspruch zu φ n ONS ist. 2.3 Singulärwertzerlegung Selbstadjungierte, kompakte Operatoren entsprechen am ehesten den Matrizen aus dem endlichdimensionalen Fall. Insbesondere gibt es ein Äquivalent zur Spektralzerlegung: Theorem 2.3.1 (Spektralsatz für kompakte, selbstadjungierte Operatoren). Sei A ∈ L kompakt, selbstadjungiert. Sei λ n die Folge der Eigenwerte und x n die zugehörigen, normalisierten Eigenvektoren. Dann gilt . ∞∑ Ax = λ n x n (x, x n ) X n=1 Beweis. Ist der Operator A nicht selbstadjungiert können wir (immer noch analog zu Matrizen) die Operatoren B := A ∗ A und C := AA ∗ definieren. Diese beiden Operatoren sind immer noch kompakt, selbstadjungiert und sogar positiv definit. Daher gibt es für beide eine Spektralzerlegung: und ∞∑ Bx = σnu 2 n (x, u n ) X n=1 ∞∑ Cy = ˜σ nu 2 n (y, u n ) Y n=1 ∀x ∈ X ∀x ∈ Y 24
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Theorem 2.2.8. Sei A ∈ L(X, X) kompakt und selbstadjungiert. Dann existiert<br />
eine Hilbertbasis aus Eigenvektoren von A und für jedes f ∈ X gilt die<br />
Darstellung<br />
f = ∑ (f, φ i )φ i + f 0 ,<br />
i<br />
mit Af 0 = 0.<br />
Beweis. Sei (λ n ) n≥1 die Folge aller nicht verschwindenden Eigenwerte von A.<br />
Setze<br />
λ 0 = 0, E 0 = N(A), und E n = N(A − λ n I).<br />
Es gilt (s.o.) 0 ≤ dim(E 0 ) ≤ ∞ und 0 < dim(E n ) < ∞. Zu zeigen: H =<br />
⊕<br />
n≥0 E n.<br />
• Die Räume (E n ) n≥0 sind orthogonal:<br />
Sei u ∈ E n , v ∈ E m , n ≠ m, dann gilt<br />
λ m (u, v) = (T u, v) = (u, T v) = λ n (u, v),<br />
und da λ n ≠ λ m folgt (u, v) = 0.<br />
• Sei F der Raum aufgespannt von den Räumen (E n ) n≥0 . Zu zeigen: F ist<br />
Dicht in H.<br />
Es ist klar, dass A(F ) ⊂ F . Sei nun u ∈ F ⊥ dann gilt<br />
und daher A(F ⊥ ) ⊂ F ⊥ . Sei<br />
(T u, v) = (u, T v) = 0, ∀v ∈ F,<br />
T 0 := T | F ⊥ .<br />
T 0 ist wieder selbstadjungiert und kompakt. Wir zeigen nun per Widerspruch<br />
dass σ(T 0 ) = 0 und damit T 0 = 0: Nehme also an, es ex. λ ≠ 0<br />
mit T 0 u = λu. Damit ist λ aber auch einer der Eigenwerte von T , o.b.D.a.<br />
λ n mit n ≥ 1. Daher ist u ∈ E n ⊂ F . Da aber u ∈ F ∩ F ⊥ folgt, dass<br />
u = 0, also ein Widerspruch und daher T 0 = 0. Damit folgt schließlich<br />
F ⊥ ⊂ N(T ). Da auf der anderen Seite gilt aber N(T ) ⊂ F und damit<br />
F ⊥ ⊂ F . Daraus folgt F ⊥ = 0 und F dicht in H.<br />
Theorem 2.2.9. Sei W der Eigenraum eines kompakten Operators zum Eigenwert<br />
µ ≠ 0. Dann ist W endlichdimensional.<br />
Beweis. Sei (g n ) n ein Orthonormalsystem in W . Dann gilt<br />
‖Ag n − Ag m ‖ = µ‖g n − g m ‖ = √ 2µ.<br />
⇒ Ag n besitzt keine konvergente Teilfolge<br />
⇒ (g n ) ist endlich<br />
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