Skript

Theorem 2.2.8. Sei A ∈ L(X, X) kompakt und selbstadjungiert. Dann existiert
eine Hilbertbasis aus Eigenvektoren von A und für jedes f ∈ X gilt die
Darstellung
f = ∑ (f, φ i )φ i + f 0 ,
i
mit Af 0 = 0.
Beweis. Sei (λ n ) n≥1 die Folge aller nicht verschwindenden Eigenwerte von A.
Setze
λ 0 = 0, E 0 = N(A), und E n = N(A − λ n I).
Es gilt (s.o.) 0 ≤ dim(E 0 ) ≤ ∞ und 0 < dim(E n ) < ∞. Zu zeigen: H =
⊕
n≥0 E n.
• Die Räume (E n ) n≥0 sind orthogonal:
Sei u ∈ E n , v ∈ E m , n ≠ m, dann gilt
λ m (u, v) = (T u, v) = (u, T v) = λ n (u, v),
und da λ n ≠ λ m folgt (u, v) = 0.
• Sei F der Raum aufgespannt von den Räumen (E n ) n≥0 . Zu zeigen: F ist
Dicht in H.
Es ist klar, dass A(F ) ⊂ F . Sei nun u ∈ F ⊥ dann gilt
und daher A(F ⊥ ) ⊂ F ⊥ . Sei
(T u, v) = (u, T v) = 0, ∀v ∈ F,
T 0 := T | F ⊥ .
T 0 ist wieder selbstadjungiert und kompakt. Wir zeigen nun per Widerspruch
dass σ(T 0 ) = 0 und damit T 0 = 0: Nehme also an, es ex. λ ≠ 0
mit T 0 u = λu. Damit ist λ aber auch einer der Eigenwerte von T , o.b.D.a.
λ n mit n ≥ 1. Daher ist u ∈ E n ⊂ F . Da aber u ∈ F ∩ F ⊥ folgt, dass
u = 0, also ein Widerspruch und daher T 0 = 0. Damit folgt schließlich
F ⊥ ⊂ N(T ). Da auf der anderen Seite gilt aber N(T ) ⊂ F und damit
F ⊥ ⊂ F . Daraus folgt F ⊥ = 0 und F dicht in H.
Theorem 2.2.9. Sei W der Eigenraum eines kompakten Operators zum Eigenwert
µ ≠ 0. Dann ist W endlichdimensional.
Beweis. Sei (g n ) n ein Orthonormalsystem in W . Dann gilt
‖Ag n − Ag m ‖ = µ‖g n − g m ‖ = √ 2µ.
⇒ Ag n besitzt keine konvergente Teilfolge
⇒ (g n ) ist endlich
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