Skript

Da A kompakt ist, besitzt (y n ) n := (Ax n ) n eine konvergente Teilfolge (die wir
wieder mit (y n ) n bezeichnen) und für jedes δ > 0 gibt es k, l so dass ‖y k −
y l ‖ Y ≤ δ, aber
‖A † y k − A † y l ‖ 2 = ‖x k − x l ‖ 2 = ‖x k ‖ + ‖x l ‖ 2 − 2 (x k , x l ) = 2.
} {{ }
=0
Also ist A † unbeschränkt und damit unstetig.
Beispiel 2.2.5. Einige Beispiele kompakter Operatoren:
• Af(x) := ∫ k(x, y)f(y) dy mit ∫ ∫ k(x, y) dxdy ≤ C < ∞
(Wenn A : L 2 (Ω) → L 2 (Ω) und k(x, y) ∈ L 2 (Ω × Ω) dann nennt man A
einen Hilbert Schmidt Operator)
• Die Identität I : X → X ist genau dann kompakt, wenn X endlichdimensional
ist.
Theorem 2.2.6. Sei A ∈ L(X, X) kompakt und selbstadjungiert. Dann sind alle
Eigenwerte von A reell. Weiterhin sind Eigenfunktionen zu unterschiedlichen
Eigenwerten orthogonal.
Beweis.
• Sei Ax = µx, µ ∈ C. Dann gilt
µ(x, x) = (Ax, x) = (x, Ax) = ¯µ(f, f)
Da f ≠ 0 gilt also µ = ¯µ und damit µ reell.
• Sei Af = µf, Ag = λg. Dann gilt
µ(f, g) = (Af, g) = (f, Ag) = λ(f, g)
⇒ (f, g) = 0.
Theorem 2.2.7. Sei A ∈ L(X, X) kompakt und selbstadjungiert. Dann sind
‖A‖ X,X oder (−‖A‖ X,X ) Eigenwerte von A.
Beweis. Sei ‖f n ‖ = 1 so dass ‖Af n ‖ → ‖A‖ (??). Dann gilt:
0 ≤ ‖A 2 f n − ‖Af n ‖ 2 f n ‖ 2
= ‖A 2 f n ‖ 2 − 2‖Af n ‖ 2 (A 2 f n , f n ) + ‖Af n ‖ 4
= ‖A 2 f n ‖ 2 − ‖Af n ‖ 4 ≤ ‖A‖ 2 ‖Af n ‖ 2 − ‖Af n ‖ 4 → 0
⇒ lim
n→∞ ‖A2 f n − ‖Af n ‖ 2 f n ‖ = 0
Da A kompakt ist auch A 2 kompakt und somit
????
A 2 f n → g − ‖A‖ 2
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