Skript

5. Sei Y ein Banachraum und für alle n ∈ N sei A n : X → Y linear und
kompakt. Es gelte lim n→∞ ‖A − A n ‖ = 0. Dann ist A kompakt.
6. Sei A beschränkt und dim(R(A)) < ∞, dann ist A kompakt.
Beweis. 1.-4.: klar
5.: Sei (x n ) n ∈ X beschränkt mit sup n∈N ‖x n ‖ Y ≤ C. Da A 1 kompakt, hat die
Folge (A 1 x m ) m∈N eine konvergente Teilfolge (A 1 x m1 (k)) k∈N . Da A 2 kompakt
ist, hat die Folge (A 2 x m1 (k)) k∈N eine konvergente Teilfolge (A 2 x m2 (k)) k∈N . Mittels
vollständiger Induktion erhalten wir Teilfolgen (x mi (k)) k∈N von (x m ) m∈N ,
so dass (x mi−1 (k)) k∈N Teilfolge von (x mi (k)) k∈N ist für alle i ∈ N jeweils (K i x mi (k)) k∈N
konvergiert (insb. ist dann auch für alle j ≥ i die Folge K i (x mj (k)) k∈N konvergent).
Sei nun y i := x mi (i) die “Diagonalfolge”, Teilfolge von x m . Zu zeigen:
(Ky i ) ist konvergent.
Wegen lim n→∞ ‖A − A n ‖ = 0 ex. für jedes ɛ > 0 ein n ∈ N so dass
‖A − A n ‖ ≤
ɛ
3C .
Aus der Konstruktion von y i folgt, dass A n y i konvergiert, sei also i 0 ∈ N so
dass für i, j > i 0 gilt
‖A n y i − A n y j ‖ ≤ ɛ 3 .
Damit gilt für i, j > i 0
‖Ay i − Ay j ‖ ≤ ‖Ay i − A n y i ‖ + ‖A n y i − A n y j ‖ + ‖A n y j − Ay i ‖ (2.1)
≤ ‖A − A n ‖(‖y i ‖ + ‖y j ‖) + ɛ 3 < ɛ
3C 2C + ɛ = ɛ,
3
(2.2)
(Ay i ) ist also eine Cauchy-Folge. Da Y Banachraum (vollständig) ⇒ (Ay i ) konvergiert.
Da x n bel. war ⇒ A ist kompakt.
6.: Folg aus dem Satz von Heine-Borel, das danach der Abschluss der beschränkten
Teilmengen von R(A) kompakt ist.
Bemerkung 2.2.3. Nach 5. und 6. ist also der Norm-Grenzwert endlichdimensionaler
beschränkter linearer Operatoren kompakt. Die Umkehrung ist im allgemeinen
nicht richtig.
Theorem 2.2.4. Sei A : X → Y ein kompakter, linearer Operator zwischen den
Hilberträumen X und Y , so dass die Dimension von R(A) unendlich ist. Dann
ist das Problem Ax = y schlecht-gestellt, d.h. insbesondere A † ist unstetig.
Beweis. Wenn X und R(A) unendlichdimensional sind, dann ist auch N(A) ⊥
unendlichdimensional. Daher existiert eine Folge (x n ) n mit x n ∈ N(A) ⊥ , ‖x n ‖ X =
1 und
(x n , x k ) = 0 für n ≠ k.
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