Skript

Bemerkung 2.1.7. Der dritte Punkt impliziert insbesondere die Existenz einer
Zerlegung von g:
g = blub
. -> Muss es nicht immer geben (da R(A) nicht abgeschlossen ist !!)
-> Im Gegensatz zum endlichdimensionalen Fall existiert die kleinste Quadrate
Lösung nicht immer !
Definition 2.1.8. Sei A ∈ L(X, Y ) und sei à : N(A)⊥ → R(A) die Einschränkung
von A. Dann ist die Moore-Pensore verallgemeinerte inverse A † definiert
als die eindeutige, lineare Erweiterung von Ã−1 auf
mit N(A † ) = R(A) ⊥ .
D(A † ) := R(A) ⊕ R(A) ⊥ ,
Bemerkung 2.1.9.
1. Die Moore-Pensore inverse ist wohldefininiert, denn
• Ã ist bijektiv und daher invertierbar
• Für bel. y ∈ D(A † ) kann man eindeutige y 1 ∈ R(A) und y 2 ∈
R(A) ⊥ finden, so dass y = y 1 + y 2 und mit Hilfe der Linearität von
A † und von N(A) = R(A) ⊥ folgt dann
A † y = A † y 1 + A † y 2 = Ã−1 y 1
2. Der Definitionsbereich ist nicht der ganze Raum Y ! (im Gegensatz zum
endlichdimensionalen Fall)
Theorem 2.1.10. A † ist charakterisiert durch die Moore-Penrose Gleichungen
AA † A = A,
A † AA † = A † ,
AA † = Q| D(A † ) ,
A † AI − P,
wobei P : X → N(A) und Q : Y → ¯R(A) die orthogonalen Projektionen sind.
Beweis. Engl/Hanke/Neubauer: [4, Proposition 2.3, Seite 33].
Theorem 2.1.11. Für jedes y ∈ D(A † ) hat Ax = y eine eindeutige minimum-
Norm-Lösung gegeben durch
x † := A † y.
und die Menge aller kleinste Quadrate-Lösungen ist gegeben durch {x † } +
N(A).
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