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Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 3
1.1 Beispiel: Transportgleichung ??? . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Beispiel: Differenzieren als inverses Problem . . . . . . . . . . 4
1.3 Beispiel: Inverse Wärmeleitungsgleichung . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Beispiel 4: Parameteridentifikation . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.1 Beispiel 5: Entrauschen von Bildern . . . . . . . . . . . 10
1.4.2 Beispiel 6: Laplace Gleichung auf Kreis und Ring . . . . 11
2 Grundlagen 14
2.1 Varallgemeinerte Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Kompakte, lineare Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Singulärwertzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Regularisierungstheorie 28
3.1 Konstruktion von Regularisierungsmethoden . . . . . . . . . . 31
3.2 Konvergenzraten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4 Inverse Probleme der Integralgeometrie 38
4.1 Radon: Ein erstes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2 Funktionalanalytische Grundlagen und Radontransformation . . 42
4.2.1 Fourier–Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2.2 Temperierte Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2.3 Radon–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2.4 Sobolev–Abschätzungen für die Radontransformation . 62
4.3 Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3.1 Shannons Abtasttheorem für bandbeschränkte Funktionen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3.2 Implementation der gefilterten Rückprojektion . . . . . 69
4.4 Was fehlt? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5 Iterative Methoden 75
5.1 Landweber-Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2 Newton-artige Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.3 Iterative Methods als Zeit-Diskrete Flüße (time-discrete flows) . 82
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