Skript

2.1 Varallgemeinerte Inverse
Seien X, Y Hilberträume, d.h. Vektorräume mit einem Skalarprodukt die vollständig
sind bzgl. der vom Skalarprodukt induzierten Norm
Sei M ⊂ X. Wie nennen:
Es gilt:
• M = Abschluss von M (closure),
‖ · ‖ := √ (·, ·).
• M ⊥ = orthogonales Komplement von M (closure)
M ⊥ := {u ∈ X | (u, v) = 0, ∀v ∈ M}.
• M ist ein Untervektorraum von X,
• M ⊥⊥ = M,
• X = ¯M ⊕ M ⊥ .
Definition 2.1.1. Sei M ⊂ X ein abgeschlossener, linearer Unterraum und sei
f ∈ X. Dann ist die orthogonale Projektion u = P M f definiert durch
u ∈ M und (f − u, v) = 0, ∀v ∈ M
Bemerkung 2.1.2. P M ist ein linearer Operator
Sei L(X, Y ) := {A : X → Y | A ist stetig und linear}. Sei A ∈ L(X, Y ), dann
ist die Norm von A definiert als
‖Ax‖ Y
‖A‖ X,Y := sup = sup ‖Ax‖ Y < ∞,
x∈X ‖x‖ X x∈X,‖x‖ X ≤1
da A stetig ist. Es gelten folgende Definitionen:
• Kern von A (kernel): N(A) := {x ∈ X | Ax = 0},
• Bild von A (range):
R(A) := {y ∈ Y | ∃x ∈ X, so dass Ax = y}.
Wir betrachten nun wieder die Gleichung
Ax = y.
Wenn nun das Bild von A, R(A) nicht der ganze Raum Y ist (oder auch nicht
Dicht in Y ), dann ist die obige Gleichung nicht für beliebige y ∈ Y lösbar. Wir
suchen daher nach einem verallgemeinerten Lösungskonzept und dies motiviert
die folgende Definition:
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