Skript

• A ist stetig bezüglich L 2 (Ω n )
• A −1 ist unstetig bezüglich L 2 (Ω m )
Der durch A definierte Operator heißt Integraloperator, k heißt Integralkern.
Beweis. Es gilt:
⎛
⎞
∫
∫ ∫
‖Af‖ 2 L 2 (Ω = m)
[(Af)(x)] 2 dx = ⎝ k(x, y)f(y) dy⎠ dx
Ω m Ω m Ω
∫ ∫
∫
n
≤ |(k(x, y)) 2 | dy (f(y)) 2 dy dx
Ω m Ω n
≤ C‖f‖ 2 L 2
X
⇒ A ist stetig.
Sei nun f k ein Orthonormalsystem auf L 2 (Ω m ) (z.B. f k = 1 √
2π
e ikx falls X =
L 2 ((0, 2π))). Dann gilt nach der Parseval’schen Ungleichung für jedes g ∈ L 2 (Ω m )
∑
|(f k , g)| 2 ≤ ‖g‖ 2 L 2 (Ω . m)
k∈Z
Es gilt also:
∑
|Af k | 2 (x) = ∑ ∫
|(k(x, ·), f k )| 2 ≤ (k(x, y)) 2 dy,
k∈Z
k∈Z
Ω m
und daher
Daraus folgt:
Sei nun
∑
∫
‖Af k ‖ 2 L
≤ 2
k∈Z
Ω n
∫
Ω m
|k(x, y)| 2 dxdy ≤ C.
‖Af k ‖ → 0 für k → ∞
g k :=
Af k
‖Af k ‖ ,
dann gilt ‖g k ‖ = 1 aber ‖A −1 g k ‖ → ∞ wenn k → ∞ und damit ist bewiesen,
dass A −1 unstetig ist.
Bemerkung 2.0.6. Integralgleichungen der Art
∫
g(x) = k(x, y)f(y) dy
heißen Fredholmsche Integralgleichungen 1. Art und sind (unter den obigen
Voraussetzungen) schlecht gestellt. Gleichungen der Form
∫
g(x) = k(x, y)f(y) dy
heißen Fredholmsche Integralgleichungen 2. Art und sind gut gestellt.
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