Skript

Kapitel 2
Grundlagen
Wie wir in den Beispielen in Kapitel 1 gesehen haben, hängt bei bei vielen inversen
Problemen die Lösung nicht stetig von den Daten ab. Wir präzisieren
dies durch folgende Definition nach Hadamard, cf. [4, Kapitel 2],
Definition 2.0.2. Seien X, Y Banach- oder Hilberträume und sei A : X → Y ,
y ∈ Y . Das Problem Ax = y heißt gut gestellt (properly/well posed), wenn
folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:
• Ax = y ist lösbar für alle y ∈ Y .
• Die Lösung x ist eindeutig.
• Die Lösung hängt stetig von den Daten ab, d.h. aus y n → y folgt x n → x,
wobei Ax n = y n für alle n (oder äquivalent: A −1 ist stetig).
Ist eine der drei Eigenschaften nicht erfüllt, so heißt das Problem schlecht gestellt
(ill-posed).
Bemerkung 2.0.3. Der letzte Punkt in der obigen Definition hängt natürlich von
der Norm ab, in dem die Stetigkeit des Operators gemessen wird. Um dies zu
verdeutlichen betrachten wir zwei Beispielen
• Betrachten wir wieder den Operater D, der einer Funktion ihre Ableitung
zuordnet, also Df := f ′ . Wenn wir als Norm die H 1 -Norm verwenden,
also
‖f‖ H 1 := ‖f‖ L 2 + ‖f ′ ‖ L 2,
so gilt natürlich
‖Df‖ L 2 = ‖f ′ ‖ L 2 ≤ ‖f‖ H 1,
der Operator Df ist also stetig in dieser Norm.
• Verallgemeinern wird das obige Beispiel: Sei A : X → Y mit den normierten
Räumen (X, ‖ · ‖ X ) und (Y, ‖ · ‖ Y ). Definieren wir nun die Norm
|‖x‖| := ‖x‖ X + ‖Ax‖ Y ,
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