Skript
Skript Skript
also a k = b k . Randwerte: f(r 0 cos(φ), r 0 sin(φ)) = u(r 0 , φ) = ∑ k∈Z a k (r |k| 0 + r−|k| 0 )e ikφ also Daher a k = 1 2π 1 r |k| 0 + r−|k| 0 ∫ 2π 0 f(φ ′ )e −ikφ′ dφ ′ g(cos(φ), sin(φ)) = ∑ k∈Z = ∫ 2π 0 2 1 r |k| 0 + r−|k| 2π 0 ∫ 2π 0 f(φ ′ )e −ikφ′ dφ ′ e ikφ k(φ − φ ′ )f(φ ′ ) dφ ′ mit k(φ − φ ′ ) = ∑ 1 r |k| 0 + e −ik(φ−φ′ ) r−|k| 0 Da k aus geometrischer Reihe folgt, dass k ∈ C ∞ . ⇒ Problem schlechtgestellt 13
Kapitel 2 Grundlagen Wie wir in den Beispielen in Kapitel 1 gesehen haben, hängt bei bei vielen inversen Problemen die Lösung nicht stetig von den Daten ab. Wir präzisieren dies durch folgende Definition nach Hadamard, cf. [4, Kapitel 2], Definition 2.0.2. Seien X, Y Banach- oder Hilberträume und sei A : X → Y , y ∈ Y . Das Problem Ax = y heißt gut gestellt (properly/well posed), wenn folgende drei Eigenschaften erfüllt sind: • Ax = y ist lösbar für alle y ∈ Y . • Die Lösung x ist eindeutig. • Die Lösung hängt stetig von den Daten ab, d.h. aus y n → y folgt x n → x, wobei Ax n = y n für alle n (oder äquivalent: A −1 ist stetig). Ist eine der drei Eigenschaften nicht erfüllt, so heißt das Problem schlecht gestellt (ill-posed). Bemerkung 2.0.3. Der letzte Punkt in der obigen Definition hängt natürlich von der Norm ab, in dem die Stetigkeit des Operators gemessen wird. Um dies zu verdeutlichen betrachten wir zwei Beispielen • Betrachten wir wieder den Operater D, der einer Funktion ihre Ableitung zuordnet, also Df := f ′ . Wenn wir als Norm die H 1 -Norm verwenden, also ‖f‖ H 1 := ‖f‖ L 2 + ‖f ′ ‖ L 2, so gilt natürlich ‖Df‖ L 2 = ‖f ′ ‖ L 2 ≤ ‖f‖ H 1, der Operator Df ist also stetig in dieser Norm. • Verallgemeinern wird das obige Beispiel: Sei A : X → Y mit den normierten Räumen (X, ‖ · ‖ X ) und (Y, ‖ · ‖ Y ). Definieren wir nun die Norm |‖x‖| := ‖x‖ X + ‖Ax‖ Y , 14
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also a k = b k . Randwerte:<br />
f(r 0 cos(φ), r 0 sin(φ)) = u(r 0 , φ) = ∑ k∈Z<br />
a k (r |k|<br />
0 + r−|k| 0 )e ikφ<br />
also<br />
Daher<br />
a k = 1<br />
2π<br />
1<br />
r |k|<br />
0 + r−|k| 0<br />
∫ 2π<br />
0<br />
f(φ ′ )e −ikφ′ dφ ′<br />
g(cos(φ), sin(φ)) = ∑ k∈Z<br />
=<br />
∫ 2π<br />
0<br />
2 1<br />
r |k|<br />
0 + r−|k| 2π<br />
0<br />
∫ 2π<br />
0<br />
f(φ ′ )e −ikφ′ dφ ′ e ikφ<br />
k(φ − φ ′ )f(φ ′ ) dφ ′ mit k(φ − φ ′ ) = ∑ 1<br />
r |k|<br />
0 + e −ik(φ−φ′ )<br />
r−|k| 0<br />
Da k aus geometrischer Reihe folgt, dass k ∈ C ∞ .<br />
⇒ Problem schlechtgestellt<br />
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