Skript

Wir entwickeln die gesuchte Funktion in eine Fourierreihe u(r, φ) = ∑ k∈Z u k(r)e ikφ
und erhalten durch Einsetzen
∑
(
u ′′
k (r) + 1 )
r u′ k (r) − k2 u k (r) e ikφ = 0
k∈Z
Das Lösen der gewöhnlichen Differentialgleichung für u k liefert u k (r) = a k r |k| +
b k r −|k| . Da wir zweimal stetig differenzierbare Lösungen suchen und r < 1 gilt
b k = 0. Randwerte
u(1, φ) = a k (r)e ikφ = g(cos(φ), sin(φ)),
die a k sind also die Fourierkoeffizienten von g, also
a k = 1
4π
∫ 2π
0
g(cos(φ ′ ), sin(φ ′ ))e −ikφ′ dφ ′ .
Damit erhalten wir schließlich als Lösung der Laplace-Gleichung
u(r, φ) =
∫ 2π
0
1 ∑
r |k| e ik(φ−φ′) g(cos(φ ′ ), sin(φ ′ )) dφ ′ .
2π
k∈Z
} {{ }
geom. Reihe
Das auswerten der geometrischen Reihe ergibt
P (r, φ, φ ′ ) =
1 − r 2
1 − 2r cos(φ − φ ′ ) + r 2 .
Da das Integral über diese Funktion 1 ist, gilt schließlich
‖u‖ L ∞ ((0,1)) ≤ ‖g‖ L ∞ ((0,1)),
die Lösung hängt in diesem Fall also stetig von den Randwerten ab.
Bemerkung 1.4.1. Vom Standpunkt der Theorie partieller Differentialgleichung
haben wir hier lediglich das Maximumprinzip für die Laplace-Gleichung für eine
spezielle Lösung nachgerechnet, siehe dazu auch [5, Kapitel 2.2.3].
Betrachten wir nun das Gebiet Ω r := {(x, y) ∈ R 2 | r 0 ≤ √ x 2 + y 2 < 1}
mit r 0 > 0. Mit dem gleichen Ansatz wie oben erhalten wir
u(r, φ) = ∑ (
a k r |k| + b k e −|k|) e ikφ = 0.
k∈Z
Randwerte:
0 = du
dn = ∑ (k(a k − b k )) e ikφ = 0,
k∈Z
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