Skript

Beim Entzerren sind die Daten mit dem ursprünglichen Bild durch einen linearen
Integraloperator verknüpft:
∫
f δ (x) = Ku := k(x, y)u(y) dy + n δ (x), x ∈ Ω ⊂ R 2 . (1.7)
Ω
Unser Ziel ist wieder die Rekonstruktion von u. Ein typisches Modell für den
Integralkern (in diesem Zusammenhang auch point-spread-function genannt)
ist
k(x, y) = c exp
(−
)
|x − y|2
,
σ
also eine Gauß-Verteilung. Je größer die Konstante σ gewählt wird desto breiter
wird die Gauß-Verteilung und desto stärker wird über das Ursprungsbild gemittelt.
Da bei diesem Mittelungsprozess Informationen verloren gehen erwarten
wir auch hier Probleme bei der Rekonstruktion des Ursprungsbildes u. Aus mathematischer
Sicht handelt es sich bei K definiert in (1.7) um einen kompakten,
linearen Operator und wir werden später sehen (Satz 2.2.4), das dessen
Inverse unstetig ist.
1.4.2 Beispiel 6: Laplace Gleichung auf Kreis und Ring
Abbildung 1.3: b) Die Laplace-Gleichung auf dem Einheitskreis, b) Die Laplace-
Gleichung auf dem Ring.
Wir betrachten zunächst die Laplace Gleichung
∆u = 0, x ∈ Ω, u| ∂Ω
= g,
auf dem Kreis Ω = B 1 (0) := {(x, y) ∈ R 2 | 0 ≤ √ x 2 + y 2 < 1}. Zur Lösung
schreiben wir die Gleichung zunächst in Polarkoordinaten um, d.h.
u rr + 1 r u r + u φφ = 0 auf B 1 (0).
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