Skript

zeigt, dass neben der Probleme, die durch das Differenzieren der Daten auftreten
(lineares Problem) auch blbubbbbbb. Interessant in diesem Kontext sind
Stabilitätsabschätzungen, mit deren Hilfe die Stetigkeit des inverses Operators
auf speziellen Teilmengen gezeigt werden kann. Als Beispiel betrachten
wir die kompakte Teilmenge
{
C γ,M = u ∈ C 2 ([0, 1]) | ‖u‖ C 2 ≤ M, du
}
dx ≥ γ > 0 in [0, 1] .
Bezeichen wir mit u j die Lösung von (1.6) zur Funktion a j (x), j = 1, 2. Aus der
obigen Inversionsformel erhalten wir für die Differenz der beiden Lösungen
und damit
a 1 (x) − a 2 (x) =
∫ x
0
(
f(y) dy du2
dx (x) dx (x) − du )
1
dx (x) .
du 1
dx (x) du 2
‖a 1 − a 2 ‖ 2 L 2 ((0,1)) ≤ (∫ x
0 f(y) dy) 2
γ 4 ‖a 1 − a 2 ‖ 2 L 2 ((0,1))
Mit Hilfe partieller Integration und der Cauchy-Schwarz Ungleichung erhalten
wir damit blub
T ODO
blub
‖a 1 − a 2 ‖ L 2 ≤ ‖f‖ L 1
γ 2 √
2M‖u1 − u 2 ‖ 1/2
L 2 ,
der inverse Operator G : u ∈ C γ → a ist also Hölder-stetig mit Exponent 1 2 in
der L 2 -norm.
1.4.1 Beispiel 5: Entrauschen von Bildern
Zwei grundlegende Probleme in der mathematischen Bildgebung sind das Entrauschen
und das Entzerren von Bildern. Beim Entrauschen ist die Aufgabe das
Orginalbild u aus verrauschten Messungen
f δ (x) = u(x) + n δ (x), x ∈ Ω ⊂ R 2 ,
zu rekonstruieren. Wir nehmen wieder an, dass für die Störungen
‖n δ (x)‖ L 2 (Ω) ≤ δ
gilt. Unser Ziel ist die Berechnung einer Rekonstruktion die wichtige Eigenschaften
des Orginalbildes u erhält (z.B. Kanten). Da Kanten im Zusammenhang
zu Ableitungen stehen ist das Problem schlecht gestellt in der gleichen
Weise wie die numerische Differenziation von Daten.
10