Skript

1.4 Beispiel 4: Parameteridentifikation
Ein weiteres wichtiges Beispiel für ein inverses Problem ist die Identifikation
(oder Rekonstruktion) eines Parameters in einer Differentialgleichung. Als Beispiel
betrachten wir wieder die Wärmeleitungsgleichung, diesmal mit einem
ortsabhängigen Koeffizienten:
u t = div(a(x)∇u), x ∈ Ω ⊂ R n , 0 < t < T, (1.5)
mit Anfangswert u(x, 0) = u 0 (x). Das direkte Problem besteht wieder aus der
Lösung dieser Differntialgleichung nach u bei gegebenem a(x). In vielen praktischen
Problemen ist der Koeffizienten a(x) jedoch nicht bekannt (z.B. ....). In
diesen Fällen interessiert und das folgende, inverse Problem:
IP:
Sei Ω M ⊂ Ω × [0, T ] und sei die Lösung u(x, t) von (1.5) bekannt
für alle (x, t) ∈ Ω M . Bestimme aus diesen Messungen a(x).
In vielen Anwendungen ist Ω M der Rand des Gebietes Ω. Analysieren wir das
stationäre Problem in einer Dimension genauer: Es gilt
−(a(x)u x ) x = f, x ∈ Ω ⊂ R, (1.6)
Wir wollen a(x) auf den verrauschten Daten
u δ (x) = u(x) + n δ (x), x ∈ Ω,
rekonstruieren, wobei wieder ‖n δ ‖ L 2 ≤ δ gilt. Hat das direkte Problem eine
eindeutige Lösung, macht es Sinn die parameter-to-solution Abbildung a ↦→
u a zu definieren, wobei u a die Lösung von (1.6) bezeichnet. Integration der
Gleichung bezüglich x liefert
a(x) du
dx (x) =
∫x
0
f(y) dy,
d.h. a(x) ist eindeutig bestimmt für alle x mit du
dx
(x) ≠ 0. Diese Bedingung ist
in vielen Anwendungen erfüllt, ist z.B. f(x) ≠ 0 offenem Intervall I ⊂ [0, 1] so
gilt
0 = d0
dx (x) = d (
a(x) du )
dx dx (x) = f(x), x ∈ I,
und damit existiert kein offenes Interval I ⊂ [0, 1] in dem du
dx
verschwindet. Die
resultierende Lösungsformel
a(x) =
∫ x
0
du
dx (x)
f(y) dy
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