¨Ubungen zur Theoretischen Physik I - Theoretische Physik 1 ...
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Übungen <strong>zur</strong> <strong><strong>Theoretische</strong>n</strong> <strong>Physik</strong> I WiSe 2008/2009<br />
Weigel, Reindl, Turczyk<br />
Blatt 8 — Ausgabe: 02.12.2008 — Abgabe: Dienstag, 09.12.2008<br />
Aufgabe 32: Foucaultsches Pendel<br />
Gegeben sei ein Pendel, das in großer Höhe über<br />
dem Boden befestigt ist. Am Ende des Pendels sei<br />
eine Masse m angebracht, auf die eine konstante<br />
Schwerkraft wirkt. Die Masse der Verbindung<br />
(Länge l, Aufhängepunkt z 0 ) sei vernachlässigbar.<br />
Weiterhin wirke die Corioliskraft auf die Masse,<br />
wobei sich das Pendel auf der Erdoberfläche am<br />
Breitengrad θ befinde. Betrachten Sie die Projektion<br />
der Bewegung des Massenpunktes in der Ebene,<br />
deren Normalenvektor parallel <strong>zur</strong> Schwerkraft ist<br />
(x − y Ebene in der Skizze).<br />
x<br />
g<br />
z 0<br />
z<br />
l<br />
m<br />
(x, y)<br />
a) Begründen Sie, dass das Potential aus der Schwerkraft für große l für die x und y Komponenten<br />
durch V (x, y) = mg (<br />
2l x 2 + y 2) angenähert werden kann.<br />
b) Geben Sie die Bewegungsgleichungen für die x und y Komponenten unter Einbeziehung von<br />
Schwer– und Corioliskraft an. Nehmen Sie dazu verhältnismäßig kleine Schwingungsamplituden<br />
in vertikaler Richtung an (ż ≪ ẋ , ż ≪ ẏ).<br />
c) Verwenden Sie einen Exponentialansatz für die komplexe Variable u(t) = x(t) + iy(t), um die<br />
Differentialgleichung aus b) für die Anfangsbedingung x(0) = x 0 ≠ 0, ẋ(0) = 0, y(0) = 0 und<br />
ẏ(0) = 0 zu lösen.<br />
d) Interpretieren Sie das Ergebnis aus c) indem Sie ebene Polarkoordinaten einführen. Berücksichtigen<br />
Sie, dass g l<br />
≫ ω 2 , wobei ω der Betrag der Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation<br />
ist.<br />
Aufgabe 33: Skalarprodukt und Drehungen<br />
Eine Drehung wirkt auf einen zweikomponentigen Vektor ⃗r wie r i → r ′ i = ∑ 2<br />
j=1 D ijr j , wobei (D ij )<br />
die der Drehung zugeordnete orthogonale 2 × 2-Matrix ist. Zeigen Sie mit Hilfe dieser Relation:<br />
a) Das Skalarprodukt ⃗a ·⃗b zwischen zwei beliebigen Vektoren ⃗a und ⃗ b bleibt erhalten, wenn man<br />
beide Vektoren um den Winkel θ dreht.<br />
b) Der Winkel γ zwischen zwei beliebigen Vektoren ⃗a und ⃗ b bleibt erhalten, wenn man beide<br />
Vektoren um den Winkel θ dreht.<br />
Aufgabe 34: Drehungen im R 3<br />
a) Bestimmen Sie die Drehmatrix, die entsteht, wenn man erst eine Drehung mit dem Winkel α<br />
um die z-Achse und dann eine Drehung mit dem Winkel β um die neue y-Achse durchführt.<br />
b) Zeigen Sie, dass es hier auf die Reihenfolge der Drehungen ankommt, indem Sie zunächst mit<br />
dem Winkel β um die y-Achse und anschließend mit dem Winkel α um die neue z-Achse<br />
drehen.<br />
y<br />
bitte wenden
Aufgabe 35: Eulerwinkel<br />
Gegeben sei der Vektor ⃗s (t), dessen Zeitabhängigkeit einzig aus einer zeitabhängigen orthogonalen<br />
Transformation (Drehung) rührt. Das heißt s i (t) = ∑ 3<br />
j=1 D ij (t) c j . Dabei ist ⃗c ein konstanter<br />
Vektor und die Orthogonalität der Transformationen bedeutet, dass für alle Zeiten die Orthogonalitätsbedingung<br />
∑ 3<br />
i=1 D ij (t) D ik (t) = δ jk und det [ D(t) ] = 1 gelten.<br />
a) Zeigen Sie, dass A jk (t) = ∑ 3<br />
[ d<br />
i=1 dt D ji (t) ] D ki (t) die Beziehung A jk (t) = −A kj (t) erfüllt.<br />
b) Über A ij (t) = ∑ 3<br />
k=1 ɛ ijk Ω k (t) definiert das Resultat aus a) eine Winkelgeschwindigkeit ⃗ Ω (t).<br />
Drücken Sie die Zeitableitung von ⃗r (t) = ⃗s (t) + ⃗r 0 (t) durch ⃗ Ω (t), ⃗s (t) und ˙⃗r 0 (t) aus.<br />
c) Betrachten Sie eine Transformation, D ik = ∑ 3<br />
j=1 R ij R<br />
jk ′ , die durch zwei aufeinanderfolgende<br />
orthogonale zeitabhängige Transformationen erzeugt wird. Zeigen Sie, dass sich die Winkelgeschwindigkeit<br />
Ω, ⃗ die D zugeordnet ist, durch Ω i = ω i + ∑ 3<br />
j=1 R ij ω j ′ ergibt; ⃗ω und ⃗ω′ sind<br />
den orthogonalen Transformationen R bzw. R ′ zugeordnet.<br />
d) Gegeben seien drei Drehungen, die durch die drei zeitabhängigen (Euler)Winkel φ(t), θ(t)<br />
und ψ(t) parametrisiert werden:<br />
⎛<br />
cos φ sin φ<br />
⎞<br />
0<br />
D ij = ⎝− sin φ cos φ 0⎠<br />
0 0 1<br />
ij<br />
⎛<br />
1 0 0<br />
⎞<br />
, C ij = ⎝0 cos θ sin θ ⎠<br />
0 − sin θ cos θ<br />
Zeigen Sie, dass ∑ 3<br />
k,l=1 B ik C kl D lj die Winkelgeschwindigkeit<br />
erzeugt.<br />
⎛ ⎞ ⎛<br />
ω 1<br />
˙φ sin θ sin ψ + ˙θ ⎞<br />
cos ψ<br />
⎝ω 2<br />
⎠ = ⎝ ˙φ sin θ cos ψ − ˙θ sin ψ⎠<br />
ω 3<br />
˙φ cos θ + ˙ψ<br />
ij<br />
⎛<br />
cos ψ sin ψ<br />
⎞<br />
0<br />
, B ij = ⎝− sin ψ cos ψ 0⎠<br />
0 0 1<br />
ij<br />
.<br />
Hinweise:<br />
• Die Determinante von R (und R ′ ) ist 1. Daher gilt zusätzlich <strong>zur</strong> Orthogonalitätsbedingung,<br />
dass ∑ 3<br />
l,m,n=1 ɛ lmnR il R jm R kn = ɛ ijk .<br />
Ankündigung: Die erste Klausur findet am Mittwoch, dem 10.12.2008, im großen Hörsaal<br />
EN-D 114 von 09:00-11:00 Uhr statt!<br />
Zugelassene Hilfsmittel: Handgeschriebene Aufzeichnungen zu Vorlesung und Übung, sowie<br />
eine mathematische Formelsammlung.