¨Ubungen zur Theoretischen Physik I - Theoretische Physik 1 ...

Übungen zur Theoretischen Physik I WiSe 2008/2009
Weigel, Reindl, Turczyk
Blatt 8 — Ausgabe: 02.12.2008 — Abgabe: Dienstag, 09.12.2008
Aufgabe 32: Foucaultsches Pendel
Gegeben sei ein Pendel, das in großer Höhe über
dem Boden befestigt ist. Am Ende des Pendels sei
eine Masse m angebracht, auf die eine konstante
Schwerkraft wirkt. Die Masse der Verbindung
(Länge l, Aufhängepunkt z 0 ) sei vernachlässigbar.
Weiterhin wirke die Corioliskraft auf die Masse,
wobei sich das Pendel auf der Erdoberfläche am
Breitengrad θ befinde. Betrachten Sie die Projektion
der Bewegung des Massenpunktes in der Ebene,
deren Normalenvektor parallel zur Schwerkraft ist
(x − y Ebene in der Skizze).
x
g
z 0
z
l
m
(x, y)
a) Begründen Sie, dass das Potential aus der Schwerkraft für große l für die x und y Komponenten
durch V (x, y) = mg (
2l x 2 + y 2) angenähert werden kann.
b) Geben Sie die Bewegungsgleichungen für die x und y Komponenten unter Einbeziehung von
Schwer– und Corioliskraft an. Nehmen Sie dazu verhältnismäßig kleine Schwingungsamplituden
in vertikaler Richtung an (ż ≪ ẋ , ż ≪ ẏ).
c) Verwenden Sie einen Exponentialansatz für die komplexe Variable u(t) = x(t) + iy(t), um die
Differentialgleichung aus b) für die Anfangsbedingung x(0) = x 0 ≠ 0, ẋ(0) = 0, y(0) = 0 und
ẏ(0) = 0 zu lösen.
d) Interpretieren Sie das Ergebnis aus c) indem Sie ebene Polarkoordinaten einführen. Berücksichtigen
Sie, dass g l
≫ ω 2 , wobei ω der Betrag der Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation
ist.
Aufgabe 33: Skalarprodukt und Drehungen
Eine Drehung wirkt auf einen zweikomponentigen Vektor ⃗r wie r i → r ′ i = ∑ 2
j=1 D ijr j , wobei (D ij )
die der Drehung zugeordnete orthogonale 2 × 2-Matrix ist. Zeigen Sie mit Hilfe dieser Relation:
a) Das Skalarprodukt ⃗a ·⃗b zwischen zwei beliebigen Vektoren ⃗a und ⃗ b bleibt erhalten, wenn man
beide Vektoren um den Winkel θ dreht.
b) Der Winkel γ zwischen zwei beliebigen Vektoren ⃗a und ⃗ b bleibt erhalten, wenn man beide
Vektoren um den Winkel θ dreht.
Aufgabe 34: Drehungen im R 3
a) Bestimmen Sie die Drehmatrix, die entsteht, wenn man erst eine Drehung mit dem Winkel α
um die z-Achse und dann eine Drehung mit dem Winkel β um die neue y-Achse durchführt.
b) Zeigen Sie, dass es hier auf die Reihenfolge der Drehungen ankommt, indem Sie zunächst mit
dem Winkel β um die y-Achse und anschließend mit dem Winkel α um die neue z-Achse
drehen.
y
bitte wenden

Aufgabe 35: Eulerwinkel
Gegeben sei der Vektor ⃗s (t), dessen Zeitabhängigkeit einzig aus einer zeitabhängigen orthogonalen
Transformation (Drehung) rührt. Das heißt s i (t) = ∑ 3
j=1 D ij (t) c j . Dabei ist ⃗c ein konstanter
Vektor und die Orthogonalität der Transformationen bedeutet, dass für alle Zeiten die Orthogonalitätsbedingung
∑ 3
i=1 D ij (t) D ik (t) = δ jk und det [ D(t) ] = 1 gelten.
a) Zeigen Sie, dass A jk (t) = ∑ 3
[ d
i=1 dt D ji (t) ] D ki (t) die Beziehung A jk (t) = −A kj (t) erfüllt.
b) Über A ij (t) = ∑ 3
k=1 ɛ ijk Ω k (t) definiert das Resultat aus a) eine Winkelgeschwindigkeit ⃗ Ω (t).
Drücken Sie die Zeitableitung von ⃗r (t) = ⃗s (t) + ⃗r 0 (t) durch ⃗ Ω (t), ⃗s (t) und ˙⃗r 0 (t) aus.
c) Betrachten Sie eine Transformation, D ik = ∑ 3
j=1 R ij R
jk ′ , die durch zwei aufeinanderfolgende
orthogonale zeitabhängige Transformationen erzeugt wird. Zeigen Sie, dass sich die Winkelgeschwindigkeit
Ω, ⃗ die D zugeordnet ist, durch Ω i = ω i + ∑ 3
j=1 R ij ω j ′ ergibt; ⃗ω und ⃗ω′ sind
den orthogonalen Transformationen R bzw. R ′ zugeordnet.
d) Gegeben seien drei Drehungen, die durch die drei zeitabhängigen (Euler)Winkel φ(t), θ(t)
und ψ(t) parametrisiert werden:
⎛
cos φ sin φ
⎞
0
D ij = ⎝− sin φ cos φ 0⎠
0 0 1
ij
⎛
1 0 0
⎞
, C ij = ⎝0 cos θ sin θ ⎠
0 − sin θ cos θ
Zeigen Sie, dass ∑ 3
k,l=1 B ik C kl D lj die Winkelgeschwindigkeit
erzeugt.
⎛ ⎞ ⎛
ω 1
˙φ sin θ sin ψ + ˙θ ⎞
cos ψ
⎝ω 2
⎠ = ⎝ ˙φ sin θ cos ψ − ˙θ sin ψ⎠
ω 3
˙φ cos θ + ˙ψ
ij
⎛
cos ψ sin ψ
⎞
0
, B ij = ⎝− sin ψ cos ψ 0⎠
0 0 1
ij
.
Hinweise:
• Die Determinante von R (und R ′ ) ist 1. Daher gilt zusätzlich zur Orthogonalitätsbedingung,
dass ∑ 3
l,m,n=1 ɛ lmnR il R jm R kn = ɛ ijk .
Ankündigung: Die erste Klausur findet am Mittwoch, dem 10.12.2008, im großen Hörsaal
EN-D 114 von 09:00-11:00 Uhr statt!
Zugelassene Hilfsmittel: Handgeschriebene Aufzeichnungen zu Vorlesung und Übung, sowie
eine mathematische Formelsammlung.