Quadratische Gleichungen.pdf - von P. Merkelbach

BBS Gerolstein
Mathematik
Quadratische Gleichungen
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Quadratische Gleichungen
Aufgabe 1: x 2 = 25
x = ±√25
x 1 = 5 x 2 = x ⋅ x = 25
⇒ 5 ⋅ 5 = 25
x 2 = −5 ⇒ (−5)⋅(−5) = 25
L = {-5 ; 5}
Aufgabe 2: 3x 2 − 48 = 0
3x 2 = 48
x 2 = 48/3
x 2 = 16
x = ±√16
x 1 = 4
x 2 = −4
L = {-4 ; 4}
x 2
= c
ax 2 - b = 0
rein quadratische Gleichungen
Aufgabe 3: x 2 − 6x = 0
x⋅(x − 6) = 0
x ausklammern
x = 0 ∨ x − 6 = 0
x 1 = 0 x 2 = 6
L = {0 ; +6}
Ein Produkt ist dann gleich
Null, wenn entweder der eine
oder der andere Faktor oder
beide Faktoren gleich Null
sind!
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Aufgabe 4:
Aufgabe 5:
Quadratische Gleichungen
(x + 3) 2 = 81
x + 3 = ±√81
x + 3 = ± 9
x = −3 ± 9
x 1 = −12
x 2 = +6
L = {−12 ; 6}
(x − 4) 2 = 121
x − 4 = ±√121
x − 4 = ± 11
x = +4 ± 11
x 1 = −7
x 2 = +15
L = {−7 ; 15}
1. Binomische Formel
2. Binomische Formel
Wiederholung:
Binomische Formeln:
I. (a+b)² = a² + 2ab + b²
II. (a-b)² = a² - 2ab + b²
III. (a+b)⋅ (a-b) = a² - b²
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Quadratische Gleichungen
Aufgabe 6: x 2 + 12x + 36 = 81
ax 2 + bx + c = 0 gemischt quadratische Gleichungen
x 2 + 12x + 36 = 81
Umwandlung in ein Binom!
Welche binomische Formel ?
1. Binomische Formel
x 2 + 12x + 36 = (x + 6) 2
a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2
a 2 = x 2 b 2 = 36
a = x b = 6
mittleres Glied prüfen: 2ab = 2·x·6 = 12x
(x + 6) 2 = 81
...
x 1 = −15
x 2 = +3
L = {−15 ; 3}
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Quadratische Gleichungen
Aufgabe 7: x 2 − 10x + 16 = 0
dem Vorzeichen nach muss es sich um die
2. Binomische Formel handeln
x 2 − 10x +16 = 0
a 2 − 2ab + b 2 = (a − b) 2
a 2 = x 2 b 2 = 16
a = x b = √16 = 4
mittleres Glied prüfen:
−2ab = −2⋅x⋅4 = −8x ≠ -10x
Die Aufgabe ist so einfach nicht lösbar, weil x als x 2 und x
vorkommt und es sich bei der linken Seite um kein Binom handelt.
x 2 − 10x + 16 = 0 / −16
x 2 − 10x ? = −16
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + (−b) 2
a 2 = x 2 − 2ab = − 10x
a = x − 2xb = − 10x ⇒ b = 5
x 2 − 10x + (−5) 2 = −16 + (−5) 2 ⇒ quadratische
Ergänzung
(x − 5) 2 = −16 +25
(x − 5) = ±√9
x 1,2 = +5 ±3
⇒ L = {+2 ; +8}
Man addiert auf beiden Seiten der Gleichung das
Quadrat der halben Vorzahl des linearen Gliedes
von x.
Vorzahl ⇒ −10
⎛ − 10 ⎞
+ ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
quadr. Ergänzung ⇒ ( ) 2
2
= + − 5
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Quadratische Gleichungen
Quadratische Ergänzung
x 2 + px + q = 0
x 2 + px + q = 0
Normalform einer
quadratische Gleichung
/ −q
x 2 + px
? = −q
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
a 2 = x 2 + 2ab = + px
a = x + 2xb = + px ⇒
p
b = 2
x 2 + px + ( 2
p )
2
(x + 2
p )
2
= −q + ( 2
p )
2
⇒ quadratische
= −q + ( 2
p )
2
Ergänzung
p p
2
(x + ) = ± − q + ⎞
⎜
⎛ ⎟ 2 2 ⎠
p p
2
x 1,2 = − − q + ⎞
⎜
⎛ ⎟ 2 ⎝ 2 ⎠
p p
2
x 1,2 = − ± − q + ⎞
⎜
⎛ ⎟ 2 ⎝ 2 ⎠
⎝
± pq - Formel
Den Ausdruck ( )
Man unterscheidet drei Fälle:
p 2
q
2
− nennt man Diskriminante D
D > 0
D = 0
D < 0
⇒ zwei Lösungen
⇒ eine Lösung
⇒ keine Lösung
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Quadratische Gleichungen
Satz von Vieta
Wenn eine quadratische Gleichung die Lösungsmenge L = {x 1
; x 2
} besitzt, dann gilt:
x 1
+ x 2
x 1 ⋅ x 2
= − p
= + q
Beispiel: 2x 2 + 6x – 20 = 0 | : 2
Normalform ⇒ x 2 + 3x – 10 = 0 | – 10
x 2 + 3x = + 10 | + (1,5) 2
x 2 + 3x + (1,5) 2 = + 10 + (1,5) 2 |
(x + 1,5) 2 = + 12,25 |
(x + 1,5) = ± 3,5
x 1 = – 5
x 2 = + 2
L = {-5 ; 2}
Normalform ⇒ x 2 + 3x – 10 = 0
x 2 + px + q = 0
p = 3
q = - 10
x 1 + x 2 = - p
2 + (-5) = - 3
x 1 · x 2 = q
2 · (-5) = - 10
Zerlegung in Linearfaktoren
Wenn eine quadratische Gleichung die Lösungsmenge L = {x 1
; x 2
} besitzt, dann kann man die
quadratische Gleichung in Linearfaktoren zerlegen:
x 2 + px + q = (x – x 1 ) · (x – x 2 ) = 0
Beispiel: 2x 2 + 6x – 20 = 0 | : 2
Normalform ⇒ x 2 + 3x – 10 = 0
x 1 = – 5
x 2 = + 2
x 2 + 3x – 10 = (x – (–5)) · (x – 2)
= (x + 5) · (x – 2)
2x 2 + 6x – 20 = 2·(x + 5) · (x – 2)
Die Linearfaktorzerlegung gilt auch für quadratische Gleichungen mit nicht reellen
Lösungen!
Beispiel: x 2 + 12x + 49 = 0
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Quadratische Gleichungen
Übungen:
a) reinquadratische Gleichungen
2x 2 3 15
1. = 576
2. =
2
18
5 x
b) quadratische Gleichungen als Binomische Formeln
3. (2x + 7) 2 = 169 L = {−10 ; 2}
4. (3x + 4) 2 = 121 L = {−5 ; 3 7 }
c) Umwandeln der linken Seite in ein Binom
5. x 2 + 14x + 49 = 121 L = {−18;4}
6. x 2 + 8x + 16 = 25 L = {-9;+1}
7. x 2 − 10x + 25 = 144 L = {-7 ; +17}
8. 9x 2 + 30x +25 = 25 L = {-3 3
1
; 0}
9. 9x 2 − 24x + 16 = 121 L = {-2 3
1
; +5}
10. 4x 2 − 28x + 49 = 169 L = {-3 ; +10}
d) Quadratische Gleichungen der Form x² + bx + c = 0
11. x 2 − 7x = −6 L = {1 ; 6}
12. x 2 − 4x − 1 = 0 L = {+2−√5 ; +2+√5}
13. x 2 − 14x = −33 L = {3 ; 11}
14. x 2 + 6x = 13 L = {−9−√22 ; −9+√22}
15. x 2 + 14 − 9x = 0 L = {2 ; 7}
e) Quadratische Gleichungen der Form ax² + bx + c = 0
16. 2x 2 − 6x − 20 = 0 L = {−2 ; 5}
17. 3x 2 − 6x − 9 = 0 L = {−1 ; 3}
18. 8x 2 + 20x + 12 = 0 L = {−1,5 ; −1}
19. −3x 2 + 33x = 90 L = {5 ; 6}
20. −7x 2 − 81x = 44 L = {−11 ; −0,5714}
f) Berechnen Sie die Diskriminante und bestimmen Sie die Anzahl der
reellen Lösungen.
Buch Seite 107 Nr. 88, 92 und 96
g) Schreiben Sie die Aufgaben 11.-20. in der Linearfaktorschreibweise.
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