Aufgaben

Abitur 2006 Mathematik LK Seite 2
Hinweise für Schüler
Aufgabenauswahl:
Bearbeitungszeit:
Die Arbeit besteht aus einem Pflichtteil und einem
Wahlteil.
Die Pflichtaufgaben P1, P2 und P3 sind vollständig
zu bearbeiten.
Von den drei Wahlaufgaben W1, W2 und W3 sind
zwei auszuwählen und zu lösen.
Die Arbeitszeit beträgt 300 Minuten zuzüglich
30 Minuten für die Aufgabenauswahl.
Hilfsmittel: • das an der Schule eingeführte Tafelwerk,
• der an der Schule zugelassene Taschenrechner
ohne CAS,
• Zeichengeräte,
• Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung
Hinweis:
Sonstiges:
Die Lösungen sind in einer sprachlich korrekten,
mathematisch exakten und äußerlich einwandfreien
Form darzustellen.
In der Niederschrift müssen die Lösungswege
nachvollziehbar sein.
Entwürfe können ergänzend zur Bewertung nur
herangezogen werden, wenn sie zusammenhängend
konzipiert sind und die Reinschrift etwa Dreiviertel
des zu erreichenden Gesamtumfanges beinhaltet.
Maximal zwei Bewertungseinheiten können zusätzlich
vergeben werden bei
• guter Notation und Darstellung,
• eleganter, kreativer und rationeller Lösung,
• vollständiger Lösung einer dritten Wahlaufgabe.
Maximal zwei Bewertungseinheiten können bei
mehrfachen Verstößen gegen mathematische
Korrektheit und äußere Form abgezogen werden.

Abitur 2006 Mathematik LK Seite 3
P1
Analytische Geometrie (11 BE)
Gegeben ist ein gerades Prisma
ABCDEFGH mit dem Parallelogramm
ABCD als Grundfläche (siehe Abbildung).
1.1 Ersetzen Sie die Leerstellen so durch einen der Buchstaben
A, B, C, D, E, F, G oder H, dass jeweils eine wahre Aussage entsteht.
BE + FG = C – F = AF
1.2 Gegeben sind folgende Eckpunkte des Körpers ABCDEFGH.
A(0⎥ 0⎥ 0) B(1⎥ 4⎥ 0) C(–1⎥ 10⎥ 0) D(–2⎪6⎪0)
E(0⎥ 0⎥ 5) F(1⎥ 4⎥ 5) G(–1⎥ 10⎥ 5) H(–2⎪6⎪5)
1.2.1 Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung der Ebene ε BDHF.
Berechnen Sie die Größe des Schnittwinkels α zwischen der Geraden g CE und
dieser Ebene.
1.2.2 Die yz-Ebene zerlegt den Körper ABCDEFGH in zwei Teilkörper.
Berechnen Sie den Inhalt der Schnittfläche.
P2
Analysis (16 BE)
2.1 Für jede positive reelle Zahl t ist die Funktion k t durch die Gleichung
gegeben.
k t (x) =
− t ⋅ x
3
+ 12 ⋅ t ⋅ x
mit x ∈ R
2.1.1 Berechnen Sie die Stelle x t > 0, an der der Anstieg des Graphen von k t genau 9⋅t
beträgt.
2.1.2 Der Graph von k t besitzt im 1. Quadranten eines kartesischen Koordinatensystems
einen lokalen Extrempunkt E t .
Berechnen Sie die Koordinaten dieses Extrempunktes und weisen Sie die Art des
Extremums nach.
Ermitteln Sie den Anstieg der Geraden durch den Punkt E t und den Koordinatenursprung.
2.1.3 Für einen bestimmten Wert von t schließen der Graph von k t und die x-Achse eine
Fläche im 1. Quadranten mit dem Inhalt A = 72 FE vollständig ein.
Berechnen Sie diesen Wert von t.

Abitur 2006 Mathematik LK Seite 4
2.2 Gegeben ist die Funktionenschar f a,b durch die Gleichung
f a,b (x) = a ⋅ x 3 + b ⋅ x mit x ∈ R, a, b∈ R, a ≠ 0, b ≠ 0.
2.2.1 Die Abbildung zeigt den Graphen einer speziellen
Funktion dieser Schar.
Begründen Sie, dass für die Parameter a und b dieser
Funktion folgende Aussagen gelten:
a > 0 und b < 0.
y
x
2.2.2 Jede Funktion f a,b ist 1. Ableitungsfunktion von Funktionen g a,b .
Geben Sie für g a,b eine mögliche Gleichung an.
2.2.3 Jede Funktion f a,b mit a > 0 und b < 0 ist Stammfunktion von Funktionen h a,b .
Untersuchen Sie die Graphen von h a,b hinsichtlich ihres Krümmungsverhaltens.
P3
Stochastik (11 BE)
Der Betreiber einer Glücksspielhalle bietet folgendes
Spiel an.
Aus der dargestellten Urne werden „auf gut Glück“
Kugeln gezogen. Der Auszahlungsbetrag ergibt sich als
Summe der aufgedruckten Beträge in Cent.
3.1 Betrachtet wird zunächst das Spiel
„Zweimaliges Ziehen aus der Urne ohne Zurücklegen“.
Die Zufallsvariable X ist der Auszahlungsbetrag nach einem Spiel.
3.1.1 Ermitteln Sie mit Hilfe eines Baumdiagramms alle möglichen Werte von X.
Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X in einem geeigneten Diagramm
dar.
3.1.2 Der Betreiber verlangt vor jedem Spiel einen Einsatz.
Berechnen Sie den Mindesteinsatz pro Spiel, damit der Betreiber auf lange Sicht
keinen Verlust erzielt.
3.2 In einem weiteren Spiel wird aus der dargestellten Urne zehnmal eine Kugel
mit Zurücklegen gezogen. Es ist jeweils von Interesse, ob die 50-Cent-Kugel
gezogen wird.
3.2.1 Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dabei höchstens zweimal 50 Cent zu erzielen.
3.2.2. Berechnen Sie die Anzahl der Ziehungen, die erforderlich sind, um mit mindestens
95%-iger Wahrscheinlichkeit wenigstens einmal eine Kugel mit dem Aufdruck 50 zu
erhalten.

Abitur 2006 Mathematik LK Seite 5
W1
Analysis (21 BE)
Gegeben ist eine Schar von Funktionen f k durch die Gleichung
2
( x − k) mit x∈R,
k ∈R und − 5 + k ≤ x ≤ 5 k.
fk (x) = 25 −
+
G k ist der zu f k gehörige Graph (siehe Abbildung für k = 0, k = 5, k = 7).
y
6 G 5
x
G 0
2
4 G 7
-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12
1.1 Die Tangente t 7 an G 7 im Punkt T(11⎪f 7 (11)) bildet mit den Koordinatenachsen ein
Dreieck.
Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.
1.2 Die Graphen G 0 und G 7 sowie die x-Achse begrenzen für 2 ≤ x ≤ 5 eine Fläche
vollständig.
Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der durch Rotation dieser Fläche um die
x-Achse entsteht.
1.3 Die Punkte P(u⎪f 0 (u)), Q(–u⎪f 0 (–u)) und der Koordinatenursprung O bilden für jeden
Wert von u (u ∈ R, 0 < u < 5) ein Dreieck.
Unter den Dreiecken dieser Art gibt es genau eines mit maximalem Flächeninhalt.
Berechnen Sie den zugehörigen Wert von u.
1.4 Ein Graph G k (k > –9) berührt die Gerade g mit der Gleichung g(x) = x + 9.
Berechnen Sie den entsprechenden Wert für k.

Abitur 2006 Mathematik LK Seite 6
W2
Analytische Geometrie (21 BE)
Die Abbildung zeigt die Darstellung eines Einfamilienbungalows in einem
kartesischen Koordinatensystem (Maße in Metern).
Der Bungalow besteht aus einem quaderförmigen Bau von 16 m Länge, 10 m Breite
und 3 m Höhe und einem aufgesetzten symmetrischen Dach.
Das Dach setzt sich zusammen aus zwei kongruenten, gleichschenkligen Dreiecksflächen
und zwei ebenfalls kongruenten gleichschenkligen Trapezflächen.
U U
Abbildung nicht maßstäblich
2.1 Ermitteln Sie je eine Koordinatengleichung für die Dachebene ε 1 , die das Dreieck EFI
enthält, sowie für die Dachebene ε 2 , die das Trapez FGJI enthält.
Für den Ausbau des Dachraumes wird u. a. der stumpfe Winkel zwischen den
Dachebenen ε 1 und ε 2 benötigt.
Berechnen Sie die Größe dieses Winkels.
2.2 Für den Bungalow soll ein Schornstein mit quadratischer Grundfläche gebaut
werden. Die Punkte P(4⎪6⎪0) und R(3,5⎪6,5⎪0) sind Eckpunkte dieser Grundfläche.
2.2.1 Berechnen Sie die Höhe über der Grundfläche, in der die Schornsteinkante QU die
Dachfläche durchstößt.
2.2.2 Der Punkt T in der Höhe von 6 m soll vom Punkt M(20⎪–10⎪1) aus sichtbar sein.
Prüfen Sie rechnerisch, ob diese Sichtbarkeit durch die Dachfläche EFI gestört wird.
2.2.3 Ermitteln Sie, wie hoch der Schornstein maximal gebaut werden darf, damit bei
⎛ 53⎞
r ⎜ ⎟
Sonnenlichteinfall mit dem Richtungsvektor u= ⎜⎜
0
⎟
der Schatten des
⎝−11⎠
Schornsteins nur auf die Dachfläche FGJI fällt.

Abitur 2006 Mathematik LK Seite 7
W3
Analytische Geometrie und Analysis (21 BE)
y
Ein Schiff P wird nacheinander zu bestimmten
Zeiten in den Punkten
P 1 (14⎪13) und P 2 (12⎪11) geortet.
Zu den gleichen Ortungszeiten wird
die Position eines zweiten Schiffes Q
in den Punkten
Q 1 (12⎪–2) und Q 2 (11⎪–1) festgestellt.
Beide Schiffe bewegen sich geradlinig
mit konstanter Geschwindigkeit.
Alle Koordinatenangaben erfolgen
in sm (sm - Seemeilen, GSG - gefährliches
Seegebiet).
L
GSG B
R
Q
P
x
Abbildung nicht maßstäblich
3.1 Vom Punkt L(0⎪1) aus überstreicht der Lichtstrahl eines Leuchtfeuers mit einer
Sichtweite von 10 sm einen Viertelkreis (siehe Abbildung).
Im Punkt R erblickt der Kapitän des Schiffes P erstmalig dieses Leuchtfeuer.
3.1.1 Berechnen Sie die Größe des Winkels zwischen RL und der Bewegungsrichtung des
Schiffes.
3.1.2 Berechnen Sie den Abstand der Schiffsroute des Schiffes P zum Leuchtfeuer L.
3.2 Bei gleichzeitiger Ortung der Schiffe P und Q sind die Schiffspositionen durch die
Punkte P r (14 – 2r⎪13 – 2r) und Q r (12 – r⎪–2 + r) mit r ∈ R und r > 0 gegeben.
Für den Abstand der beiden Schiffe voneinander gilt:
d (r) = P r
Q .
3.2.1 Berechnen Sie den Ort von P, wenn der Abstand der beiden Schiffe P und Q
voneinander erstmalig 9 sm beträgt.
3.2.2 Für genau einen Wert von r ist der Abstand der beiden Schiffe voneinander
minimal.
Ermitteln Sie diesen Wert für r.
Geben Sie den minimalen Abstand an.
3.3 Im Punkt B(x B ⎪y B ) befindet sich eine Warnboje.
Die Begrenzungen des für die Schifffahrt gefährlichen Seegebietes „GSG“ vor dem
Leuchtfeuer L können durch die Graphen der Funktionen f und g mit den
Gleichungen
f(x) = –x 3 + x + 4
g(x) = x + 1
mit x ∈ R, 0 ≤ x ≤ x B und
mit x ∈ R, 0 ≤ x ≤ x B
und der Geraden mit der Gleichung x = 0 beschrieben werden.
Die Graphen von f und g schneiden einander im Punkt B.
Bestimmen Sie den Flächeninhalt des gefährlichen Seegebietes.
r