Aufgaben zur Laplacetransformation: Aufgabe 1: Bestimmen Sie die ...

Prof. Dr. Timm Sigg
Mathe 3, ITB
Aufgaben zur Laplacetransformation:
Aufgabe 1:
Bestimmen Sie die Laplacetransformation für folgende Funktionen
a) e −t cos 2t
b) t 2 e 3t
c) t cos t
Aufgabe 2:
Skizzieren Sie die Funktionen und bestimmen Sie ihre Laplace-Transformierten:
a) (t − π) · σ(t − π)
b) t · σ(t − 2)
Aufgabe 3:
Gegeben ist jeweils F (p). Bestimmen Sie f(t).
a) F (p) = 1
p(p−a)
b) F (p) = 1
p 3 −p 2
c) F (p) =
1
p 2 (p 2 +a 2 )
d) F (p) = p+1
p 2 +4p+8
Aufgabe 4:
Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme für x(t) mit Hilfe der Laplace-Transformation:
a) ẍ − 3ẋ + 2x = e −t ; x(0) = 1 , ẋ(0) = 0
...
b) x + ẋ = 1 ; x(0) = 0 , ẋ(0) = 1, ẍ(0) = 0
Aufgabe 5: Bestimmen Sie die Lösung des folgenden Anfangswertproblems für lineare Systeme:
ẋ − 2x + 3y = 0
; x(0) = 8 , y(0) = 3 ;
2x + ẏ − y = 0
Aufgabe 6:
Gegeben ist das lineare, homogene Differenzialgleichungssystem
ẋ 1 = a · x 1 + 2x 2
ẋ 2 = − x 2 − x 3 {x 1 (0) = 0, x 2 (0) = 0, x 3 (0) = 1}
ẋ 3 = bx 2 − x 3
a) Für welche Werte des Parameters b enthalten x 2 (t) und x 3 (t) trigonometrische Funktionen ?
b) Es ist b = 4. Bestimmen Sie x 2 (t) und x 3 (t)

Prof. Dr. Timm Sigg
Mathe 3, ITB
Aufgabe 7: Die Bewegung eines elektrisch geladenen Teilchens in einem homogenen Magnetfeld
wird beschrieben durch das Differenzialgleichungssystem
ẍ(t) − aẏ(t) = 0
ÿ(t) + aẋ(t) = 0
(a > 0)
a) Lösen Sie das System unter den Anfangsbedingungen x(0) = 0 ,
ẋ(0) = v 0 , y(0) = ẏ(0) = 0 .
b) Skizzieren Sie die Teilchenbahn.
Aufgabe 8: (Prüfungsaufgabe Wintersemester 2002/03, Aufgabe 2 (25 min.))
Gegeben ist das Anfangswertproblem
ẍ(t) + ẋ(t) = f(t); x(0) = 1, ẋ(0) = 0 mit f(t) = e T −t · σ(t − T ), T > 0.
a) Skizzieren Sie das Schaubild von f(t).
b) Berechnen Sie die Lösung x(t) des Anfangswertproblems mit Hilfe der Laplace-Transformation
unter Verwendung des Faltungssatzes.
Aufgabe 9: (Prüfungsaufgabe Sommersemester 2004, Aufgabe 2 (35 min.))
Gegeben ist die Differenzialgleichung
ẍ(t) + 2κẋ(t) + 25x(t) = f(t).
(∗)
a) Lösen Sie mittels Laplace-Transformation die homogene Differenzialgleichung (f(t) = 0) für
κ = 3 mit den Anfangsbedingungen x(0) = 1, ẋ(0) = 1.
b) Lösen Sie mittels Laplace-Transformation die inhomogene Differenzialgleichung für κ = 0
mit den Anfangsbedingungen x(0) = 0, ẋ(0) = 0, wobei
(b1) f(t) = cos(3t)
(b2) f(t) = cos(5t).
Warum sind die entstehenden Lösungsfunktionen für (b1) und (b2) qualitativ verschieden,
obwohl in beiden Fällen eine rein harmonische Anregung f(t) vorliegt?
c) Lösen Sie mittels Laplace-Transformation unter Anwendung des Faltungssatzes die inhomogene
Differenzialgleichung für κ = 0 für die Anfangsbedingungen x(0) = 0, ẋ(0) = 0 mit der
Anregungsfunktion
f(t) =
{ 1 für t ∈ [0, T ];
0 für t ∈ (T, ∞);
(T > 0 gegeben)
Kann man die Dauer T des Anregungsimpulses so vorgeben, dass das System nach Ende des
Impulses (d.h. für t > T ) überhaupt nicht schwingt?
Falls ja: Wie muss man T dazu wählen?

Prof. Dr. Timm Sigg
Mathe 3, ITB 3A, WS 06/07
Aufgabe 10: (Prüfungsaufgabe Sommersemester 2002, Aufgabe 2 (25 min.))
Gegeben ist das System von zwei linearen Differenzialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten
Koeffizienten
ẍ(t) + 2ẋ(t) − α · ẏ(t) = 0
ÿ(t) + α · ẋ(t) = 0
und die Anfangswerte zur Zeit t = 0
x(0) = 0, ẋ(0) = 1, y(0) = 0, ẏ(0) = 0.
a) Bestimmen Sie die Lösung des Systems mit Hilfe der Laplace-Transformation für den Parameterwert
α = 1.
b) Für welche Werte des Parameters α beschreibt die Lösung x(t) gedämpfte harmonische
Schwingungen der Form
x(t) = e −δt · (c 1 cos ωt + c 2 sin ωt) ?
Bestimmen Sie c 1 , c 2 , δ und ω in Abhängigkeit von α.