Aufgaben zur Laplacetransformation: Aufgabe 1: Bestimmen Sie die ...
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Prof. Dr. Timm Sigg<br />
Mathe 3, ITB<br />
<strong><strong>Aufgabe</strong>n</strong> <strong>zur</strong> <strong>Laplacetransformation</strong>:<br />
<strong>Aufgabe</strong> 1:<br />
<strong>Bestimmen</strong> <strong>Sie</strong> <strong>die</strong> <strong>Laplacetransformation</strong> für folgende Funktionen<br />
a) e −t cos 2t<br />
b) t 2 e 3t<br />
c) t cos t<br />
<strong>Aufgabe</strong> 2:<br />
Skizzieren <strong>Sie</strong> <strong>die</strong> Funktionen und bestimmen <strong>Sie</strong> ihre Laplace-Transformierten:<br />
a) (t − π) · σ(t − π)<br />
b) t · σ(t − 2)<br />
<strong>Aufgabe</strong> 3:<br />
Gegeben ist jeweils F (p). <strong>Bestimmen</strong> <strong>Sie</strong> f(t).<br />
a) F (p) = 1<br />
p(p−a)<br />
b) F (p) = 1<br />
p 3 −p 2<br />
c) F (p) =<br />
1<br />
p 2 (p 2 +a 2 )<br />
d) F (p) = p+1<br />
p 2 +4p+8<br />
<strong>Aufgabe</strong> 4:<br />
Lösen <strong>Sie</strong> <strong>die</strong> folgenden Anfangswertprobleme für x(t) mit Hilfe der Laplace-Transformation:<br />
a) ẍ − 3ẋ + 2x = e −t ; x(0) = 1 , ẋ(0) = 0<br />
...<br />
b) x + ẋ = 1 ; x(0) = 0 , ẋ(0) = 1, ẍ(0) = 0<br />
<strong>Aufgabe</strong> 5: <strong>Bestimmen</strong> <strong>Sie</strong> <strong>die</strong> Lösung des folgenden Anfangswertproblems für lineare Systeme:<br />
ẋ − 2x + 3y = 0<br />
; x(0) = 8 , y(0) = 3 ;<br />
2x + ẏ − y = 0<br />
<strong>Aufgabe</strong> 6:<br />
Gegeben ist das lineare, homogene Differenzialgleichungssystem<br />
ẋ 1 = a · x 1 + 2x 2<br />
ẋ 2 = − x 2 − x 3 {x 1 (0) = 0, x 2 (0) = 0, x 3 (0) = 1}<br />
ẋ 3 = bx 2 − x 3<br />
a) Für welche Werte des Parameters b enthalten x 2 (t) und x 3 (t) trigonometrische Funktionen ?<br />
b) Es ist b = 4. <strong>Bestimmen</strong> <strong>Sie</strong> x 2 (t) und x 3 (t)
Prof. Dr. Timm Sigg<br />
Mathe 3, ITB<br />
<strong>Aufgabe</strong> 7: Die Bewegung eines elektrisch geladenen Teilchens in einem homogenen Magnetfeld<br />
wird beschrieben durch das Differenzialgleichungssystem<br />
ẍ(t) − aẏ(t) = 0<br />
ÿ(t) + aẋ(t) = 0<br />
(a > 0)<br />
a) Lösen <strong>Sie</strong> das System unter den Anfangsbedingungen x(0) = 0 ,<br />
ẋ(0) = v 0 , y(0) = ẏ(0) = 0 .<br />
b) Skizzieren <strong>Sie</strong> <strong>die</strong> Teilchenbahn.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 8: (Prüfungsaufgabe Wintersemester 2002/03, <strong>Aufgabe</strong> 2 (25 min.))<br />
Gegeben ist das Anfangswertproblem<br />
ẍ(t) + ẋ(t) = f(t); x(0) = 1, ẋ(0) = 0 mit f(t) = e T −t · σ(t − T ), T > 0.<br />
a) Skizzieren <strong>Sie</strong> das Schaubild von f(t).<br />
b) Berechnen <strong>Sie</strong> <strong>die</strong> Lösung x(t) des Anfangswertproblems mit Hilfe der Laplace-Transformation<br />
unter Verwendung des Faltungssatzes.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 9: (Prüfungsaufgabe Sommersemester 2004, <strong>Aufgabe</strong> 2 (35 min.))<br />
Gegeben ist <strong>die</strong> Differenzialgleichung<br />
ẍ(t) + 2κẋ(t) + 25x(t) = f(t).<br />
(∗)<br />
a) Lösen <strong>Sie</strong> mittels Laplace-Transformation <strong>die</strong> homogene Differenzialgleichung (f(t) = 0) für<br />
κ = 3 mit den Anfangsbedingungen x(0) = 1, ẋ(0) = 1.<br />
b) Lösen <strong>Sie</strong> mittels Laplace-Transformation <strong>die</strong> inhomogene Differenzialgleichung für κ = 0<br />
mit den Anfangsbedingungen x(0) = 0, ẋ(0) = 0, wobei<br />
(b1) f(t) = cos(3t)<br />
(b2) f(t) = cos(5t).<br />
Warum sind <strong>die</strong> entstehenden Lösungsfunktionen für (b1) und (b2) qualitativ verschieden,<br />
obwohl in beiden Fällen eine rein harmonische Anregung f(t) vorliegt?<br />
c) Lösen <strong>Sie</strong> mittels Laplace-Transformation unter Anwendung des Faltungssatzes <strong>die</strong> inhomogene<br />
Differenzialgleichung für κ = 0 für <strong>die</strong> Anfangsbedingungen x(0) = 0, ẋ(0) = 0 mit der<br />
Anregungsfunktion<br />
f(t) =<br />
{ 1 für t ∈ [0, T ];<br />
0 für t ∈ (T, ∞);<br />
(T > 0 gegeben)<br />
Kann man <strong>die</strong> Dauer T des Anregungsimpulses so vorgeben, dass das System nach Ende des<br />
Impulses (d.h. für t > T ) überhaupt nicht schwingt?<br />
Falls ja: Wie muss man T dazu wählen?
Prof. Dr. Timm Sigg<br />
Mathe 3, ITB 3A, WS 06/07<br />
<strong>Aufgabe</strong> 10: (Prüfungsaufgabe Sommersemester 2002, <strong>Aufgabe</strong> 2 (25 min.))<br />
Gegeben ist das System von zwei linearen Differenzialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten<br />
Koeffizienten<br />
ẍ(t) + 2ẋ(t) − α · ẏ(t) = 0<br />
ÿ(t) + α · ẋ(t) = 0<br />
und <strong>die</strong> Anfangswerte <strong>zur</strong> Zeit t = 0<br />
x(0) = 0, ẋ(0) = 1, y(0) = 0, ẏ(0) = 0.<br />
a) <strong>Bestimmen</strong> <strong>Sie</strong> <strong>die</strong> Lösung des Systems mit Hilfe der Laplace-Transformation für den Parameterwert<br />
α = 1.<br />
b) Für welche Werte des Parameters α beschreibt <strong>die</strong> Lösung x(t) gedämpfte harmonische<br />
Schwingungen der Form<br />
x(t) = e −δt · (c 1 cos ωt + c 2 sin ωt) ?<br />
<strong>Bestimmen</strong> <strong>Sie</strong> c 1 , c 2 , δ und ω in Abhängigkeit von α.