Komplexe Zahlen i
Komplexe Zahlen i Komplexe Zahlen i
© 2006 Dr. rer. nat. Peter Erich Keller Komplexe Zahlen 1. Imaginäre Einheit i 2. Gauß’sche Zahlenebene 3. Mathematik der komplexen Zahlen (Addition, Subtraktion und Multiplikation) 4. Exponential (polare) Darstellung einer komplexen Zahl 5. Komplex-konjugierte Zahlen 1. Imaginäre Einheit i Die imaginäre Einheit ist definiert als die Quadratwurzel aus minus 1. __ i = √-1 i i = i 2 = -1 Die komplexen Zahlen bestehen aus einer reellen Zahl a plus einer reellen Zahl b, die mit i multipliziert ist. z = a + bi a ∈ {R}, b ∈ {R}, z ∈ {C} z: komplexe Zahl a: Realteil bi: Imaginärteil
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© 2006 Dr. rer. nat. Peter Erich Keller<br />
<strong>Komplexe</strong> <strong>Zahlen</strong><br />
1. Imaginäre Einheit i<br />
2. Gauß’sche <strong>Zahlen</strong>ebene<br />
3. Mathematik der komplexen <strong>Zahlen</strong> (Addition, Subtraktion<br />
und Multiplikation)<br />
4. Exponential (polare) Darstellung einer komplexen Zahl<br />
5. Komplex-konjugierte <strong>Zahlen</strong><br />
1. Imaginäre Einheit i<br />
Die imaginäre Einheit ist definiert als die Quadratwurzel aus minus 1.<br />
__<br />
i = √-1<br />
i i = i 2 = -1<br />
Die komplexen <strong>Zahlen</strong> bestehen aus einer reellen Zahl a plus einer reellen Zahl b,<br />
die mit i multipliziert ist.<br />
z = a + bi<br />
a ∈ {R}, b ∈ {R}, z ∈ {C}<br />
z: komplexe Zahl<br />
a: Realteil<br />
bi: Imaginärteil
2. Gauß’sche <strong>Zahlen</strong>ebene<br />
Die komplexen <strong>Zahlen</strong> werden als Punkt in der Gauß'schen <strong>Zahlen</strong>ebene<br />
dargestellt. Die Gauß'sche <strong>Zahlen</strong>ebene besteht aus einer reellen Achse und einer<br />
Achse in den Einheiten i (imaginäre Achse).<br />
GAUß'sche <strong>Zahlen</strong>ebene<br />
^<br />
|<br />
|3i * 4+3i<br />
|<br />
|2i<br />
|<br />
* -3+ i | i * 2+ i<br />
|<br />
-------- −3--- −2--- −1-----|-----1-----2-----3-----4-----5-----------><br />
|<br />
|-i * 4 -i<br />
|<br />
-1-2i* |-2i<br />
|<br />
Jedem farbigen Punkt (*) entspricht einer komplexen Zahl. Gegeben sind folgende<br />
komplexe <strong>Zahlen</strong>:<br />
z = 4 + 3i<br />
z = −3 + i<br />
z = 2 + i<br />
z = −1 –2i<br />
z = 4 + i
3. Mathematik der komplexen <strong>Zahlen</strong> (Addition, Subtraktion und Multiplikation)<br />
<strong>Komplexe</strong> <strong>Zahlen</strong> lassen sich addieren, substrahieren und multiplizieren.<br />
Addition und Subtraktion<br />
z + z = 4 + 2 + 3i + i = 6 + 4i<br />
z + z = -3 +4 + i + i = 1 + 2i<br />
Regel: z 1 ±z 2 = a 1 ±a 2 +(b 1 ±b 2 )i<br />
Einfaches Rechenschema:<br />
z 1 : a 1 + b 1 i<br />
±z 2 : ±( a 2 + b 2 i )<br />
Summe resp. Differenz<br />
Multiplikation<br />
z z = (-3 + i) (-1 -2i) = 3 +6i -i -2i i<br />
= 5 +5i | i i = -1<br />
Regel: z 1 z 2 = a 1 a 2 - b 1 b 2 +(a 1 b 2 +a 2 b 1 )i<br />
Die Funktionen Re(z) und Im(z)<br />
Re(z) gibt den Realteil, Im(z) den Imaginärteil der komplexen Zahl.<br />
Z = a + bi<br />
Re(z)=a<br />
Im(z)=bi<br />
4. Exponential (polare) Darstellung einer komplexen Zahl
Die komplexe Zahl kann auch in Polarkoordinaten angegeben werden.<br />
Diese besteht aus einem Radialwert (r) und einem Winkel(φ, griech. Buchstabe;<br />
sprich: PHI).<br />
Die Umrechnung folgt aus der Euler’schen Gleichung<br />
e iφ = cos(φ) + i sin(φ)<br />
multipliziert mit dem Radialwert r (=Länge der komplexen Zahl in der Gauß’schen<br />
<strong>Zahlen</strong>ebene, Abstand vom Nullpunkt) erhält man die Umrechnungsformel.<br />
r*e iφ = r(cos(φ)+i sin(φ))<br />
Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten.<br />
Die kartesischen Koordinaten wurden vom französischen Mathematiker Décartes<br />
entwickelt.<br />
Koordinatentransformation polar >> kartesisch<br />
a= r*cos(φ)<br />
b=r*sin(φ)<br />
z=a+bi<br />
Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten.<br />
Koordinatentransformation kartesisch >> polar<br />
_______<br />
r=√a 2 +b 2<br />
φ=arccos(a/r)<br />
φ=arcsin(b/r)<br />
Rechnen mit dem Taschenrechner
Arcuscosinus und Arcussinus sind die Umkehrfunktionen des<br />
Cosinus und des Sinus. Mit dem Taschenrechner werden sie durch<br />
die Tasten [arc] [sin] , [arc] [cos] oder [2nd] [sin -1 ], [2nd][cos -1 ]<br />
berechnet. Die Winkel werden in Grad [DEG] oder Bogenmass<br />
[RAD] eingegeben.<br />
DEGREE engl. Grad, RADIAN engl. radial.<br />
5. Komplex konjugierte <strong>Zahlen</strong><br />
Die komplex-konjugierte Zahl zu einer komplexen Zahl z wird mit z* bezeichnet.<br />
Man berechnet sie durch Multiplikation des Imaginärteils mit<br />
(-1).<br />
Gegeben: z = a + bi<br />
z* =a +(-1) bi = a – bi<br />
In Polarschreibweise:<br />
z = r exp(iϕ)<br />
z*=r exp(-iϕ)