7) Querschnittswerte
7) Querschnittswerte
7) Querschnittswerte
Erfolgreiche ePaper selbst erstellen
Machen Sie aus Ihren PDF Publikationen ein blätterbares Flipbook mit unserer einzigartigen Google optimierten e-Paper Software.
BAULEITER HOCHBAU<br />
K U R S 2013 - 2014<br />
S T A T I K / F E S T I G K E I T S L E H R E<br />
7) QUERSCHNITTSWERTE<br />
1) Einleitung<br />
2) Schwerpunkt<br />
3) Trägheitsmoment<br />
4) Widerstandsmoment<br />
5) Das statische Moment<br />
6) Beispiele von<br />
Querschnittstabellen<br />
g.bettschen
Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb - BAULEITER HOCHBAU -<br />
Statik - <strong>Querschnittswerte</strong> - g.bettschen - Seite 2<br />
1) Einleitung<br />
In den folgenden Kapiteln lernen wir die Berechnung und Bemessung von stabförmigen<br />
Bauteilen. Stabförmige Bauteile haben einen bestimmten Querschnitt.<br />
Bei der statischen Berechnung zur Bemessung solcher Bauteile braucht<br />
man die <strong>Querschnittswerte</strong> (auch Querschnittskennwerte genannt).<br />
Unter <strong>Querschnittswerte</strong>n versteht man unter anderem<br />
‣ Lage des Schwerpunktes,<br />
‣ die Querschnittsfläche<br />
‣ die Trägheitsmomente und die Widerstandsmomente.<br />
In der Festigkeitslehre werden noch weitere Arten von <strong>Querschnittswerte</strong>n vewendet (z.B.<br />
Trägheitsradius), auf diese speziellen Werte wird dann in einem späteren Teil<br />
eingegangen.<br />
Für einfache Querschnittsformen sind die Werte aus Tabellen ablesbar oder mit einfachen<br />
Formeln schnell auszurechnen.<br />
2) Schwerpunktsbestimmungen<br />
a) Allgemeines<br />
Jeden Körper kann man sich aus vielen kleinen, gleich grossen Massenteilchen, den<br />
Massenpunkten, zusammengesetzt denken. Alle diese Massenteilchen erzeugen infolge<br />
der Erdanziehungskraft (Schwerkraft) gleichlaufende, lotrechte Lasten.<br />
Den Mittelpunkt aller dieser Massenkräfte eines Körpers, in dem man sich für statische<br />
Untersuchungen seine Gesamtlast vereinigt denken kann, nennt man seinen<br />
Schwerpunkt.<br />
b) Definition vom Begriff Schwerpunkt<br />
Als Schwerpunkt eines Körpers bezeichnet man den Angriffspunkt der<br />
Resultierenden aller Massenteilchen dA welche durch parallele Kräfte im<br />
Raum beansprucht werden. Die Wirkungslinie dieser Resultierenden nennt<br />
man Schwerlinie.<br />
Unterstützt man einen Körper in seinem Schwerpunkt, so bleibt er in jeder Lage in Ruhe,<br />
im Gleichgewicht<br />
Man balanciert die Scheibe so auf einer spitzen Nadel,<br />
dass sie horizontal schwebt. Der Punkt, in dem die Nadel<br />
die Scheibe berührt, heißt Schwerpunkt.<br />
In der Nadelspitze greift die Gewichtskraft an,<br />
hervorgerufen durch die Schwerkraft. Die gleich große,<br />
von der Nadel aufgebrachte Gegenkraft hält den Körper.<br />
Dabei spielt es keine Rolle, welche Form die Scheibe<br />
hat. Man kann sich vorstellen, dass die gesamte Masse<br />
in einem Punkt konzentriert ist<br />
Jede durch diesen Punkt gehende Linie heisst daher Schwerlinie.<br />
Die Lage des Schwerpunkts ist bei Körpern für Standfestigkeitsuntersuchungen und bei<br />
Flächen für die Zug-, Druck-, Biege- und Knickfestigkeit von grosser Bedeutung.<br />
Will man den Schwerpunkt eines Körpers,<br />
z.B. den einer gleichmässig dünnen Platte,<br />
praktisch bestimmen, so hängt man ihn an<br />
zwei verschiedenen Punkten auf. Die<br />
Lotrechten von den Aufhängepunkten sind,<br />
wenn der Körper zur Ruhe gekommen ist, die<br />
Schwerpunktlinien (R 1 und R 2 ).<br />
Zeichnet man sie ein, so ist ihr Schnittpunkt S der Schwerpunkt der Fläche ABCD.<br />
D:\Eigene Dateien\Goepf\bzb\aktuelles Script\Statik7 web.doc 04.12.2013<br />
C<br />
D<br />
A<br />
R<br />
B<br />
A<br />
D<br />
B<br />
S<br />
1 R<br />
2<br />
R<br />
1<br />
C
Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb - BAULEITER HOCHBAU -<br />
Statik - <strong>Querschnittswerte</strong> - g.bettschen - Seite 3<br />
Der gesuchte Schwerpunkt des Körpers liegt hinter S in der Mitte der Platte.<br />
Nach dem gleichen Grundsatz verfährt man bei der rechnerischen oder zeichnerischen<br />
Bestimmung des Schwerpunktes. Nur dreht man jetzt nicht den Körper, sondern der<br />
Einfachheit halber lässt man die Massenkräfte nach zwei verschiedenen, möglichst<br />
winkelrecht zueinanderstehenden Richtungen wirken. Ferner nimmt man an, dass die<br />
Körper aus gleichmässig dichtem (homogenen) Stoff bestehen. Dann ist die Lage des<br />
Schwerpunkts nur von der Gestalt des Körpers abhängig.<br />
Auch die Schwerpunkte von Linien und Flächen bestimmt man in ähnlicher Weise, indem<br />
man sich diese Gebilde mit Massenkräften behaftet denkt. Man spricht dann von einer<br />
materiellen Linie oder materiellen Fläche. Das Auffinden ihrer Schwerpunkte wird<br />
erleichtert, wenn man beachtet, dass jede Mittellinie und jede Symmetrieachse eine<br />
Schwerlinie ist.<br />
c) Schwerpunkte von Teilflächen<br />
D:\Eigene Dateien\Goepf\bzb\aktuelles Script\Statik7 web.doc 04.12.2013
Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb - BAULEITER HOCHBAU -<br />
Statik - <strong>Querschnittswerte</strong> - g.bettschen - Seite 4<br />
d) Zusammengesetzte Flächen :<br />
- Bei regelmässigen und spiegelgleichen Flächen liegt der Schwerpunkt im Schnittpunkt<br />
zweier Spiegel- oder Mittelachsen.<br />
- Beliebige Flächen unregelmässiger Gestalt unterteilt man in solche einfachen Flächen,<br />
deren Inhalte und Schwerpunkte nach bekannten Regeln leicht anzugeben sind. In<br />
einfachen Fällen ermittelt man die Lage des Schwerpunktes rechnerisch, bei schwierigeren<br />
Figuren findet oft das Verfahren mit dem Seilpoygon Anwendung.<br />
Berechnungsmethoden<br />
Da der Schwerpunkt ein Durchgangspunkt der Mittelkraft aller Massenkräfte ist, lässt sich<br />
seine Lage zeichnerisch mit Hilfe des Seilpolygons und rechnerisch mit Hilfe des<br />
Momentensatzes ermitteln, wie es im folgenden für die verschiedenen geometrischen<br />
Gebilde geschieht. Als gedachter Punkt kann er bei besonderen Formen der Körper,<br />
Flächen oder Linien auch ausserhalb dieser Gebilde liegen.<br />
* Symmetrische Flächen<br />
z<br />
A = A<br />
Gesamtfläche A = Summe aller Teilflächen<br />
* Beliebige Flächen<br />
y<br />
dA mit der Masse 1<br />
belast<br />
et<br />
Aus Symmetriegründen entspricht jedem<br />
Flächenteilchen links der z-Achse ein<br />
Flächenteilchen rechts der z-Achse.<br />
Aus Gleichgewichtsgründen muss also die<br />
Resultierende dieser Flächenteilchen identisch<br />
sein mit der z-Achse.<br />
Daraus kann folgender wichtiger Satz<br />
abgeleitet werden :<br />
Jede Symmetrieachse einer<br />
Fläche ist gleich der Schwerlinie.<br />
Der Schwerpunkt einer Fläche liegt im Schnittpunkt von mindestens zwei Schwerlinien,<br />
und da eine Schwerlinie auch die Resultierende der mit der Masse 1 belasteten Fläche dA<br />
darstellt, kann der Schwerpunkt wie folgt berechnet werden :<br />
Man teilt die Fläche in kleine Flächenteilchen auf, für die die Teilschwerpunkte aus<br />
Symmetriegründen ermittelt werden können :<br />
ys <br />
ys <br />
<br />
dA ys A y1<br />
dA1<br />
y2<br />
dA2...<br />
yn<br />
dAn<br />
n<br />
<br />
i1<br />
n<br />
<br />
yi<br />
dAi<br />
<br />
dAi<br />
i1<br />
n<br />
<br />
i1<br />
yi<br />
dAi<br />
// zs <br />
A<br />
n<br />
<br />
i1<br />
zi<br />
dAi<br />
A<br />
D:\Eigene Dateien\Goepf\bzb\aktuelles Script\Statik7 web.doc 04.12.2013
Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb - BAULEITER HOCHBAU -<br />
Statik - <strong>Querschnittswerte</strong> - g.bettschen - Seite 5<br />
e) Beispiele zu Schwerpunktsberechnungen<br />
Achsen und Bezeichnungen:<br />
Stabachse x - x<br />
‚Starke Achse‘ y - y<br />
‚Schwache Achse‘ z - z<br />
Beispiel a<br />
Gesucht: Lage vom Schwerpunkt<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
Lösung:<br />
4<br />
D:\Eigene Dateien\Goepf\bzb\aktuelles Script\Statik7 web.doc 04.12.2013
Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb - BAULEITER HOCHBAU -<br />
Statik - <strong>Querschnittswerte</strong> - g.bettschen - Seite 6<br />
Beispiel b<br />
Gesucht: Lage vom Schwerpunkt<br />
2<br />
1<br />
4<br />
2<br />
3<br />
1<br />
4<br />
5<br />
5<br />
2<br />
3<br />
3<br />
2<br />
2 2<br />
Lösung:<br />
- Einzeichnen eines frei wählbaren Koordinatensystems<br />
- Aufteilung in Teilflächen und Bestimmung deren Schwerpunktsabstände zu den<br />
entsprechenden Koordinatenachsen<br />
- Berechnung aller Teilflächen mal deren Abstand y zur Koordinatenachse z<br />
- Berechnung aller Teilflächen mal deren Abstand z zur Koordinatenachse y<br />
- Summenbildungen und Berechnung der Schwerpunktslage ys und zs analog Beispiel a<br />
7<br />
1<br />
z<br />
3<br />
A1<br />
2<br />
5<br />
2<br />
A2<br />
1<br />
4<br />
A3<br />
4<br />
5<br />
A4<br />
2<br />
3<br />
3<br />
2<br />
2<br />
A5<br />
2<br />
7<br />
y<br />
Praktisch für die Lösung von Querschnitten mit mehreren Teilflächen ist das Einsetzen der<br />
Werte in eine Tabelle (Berechnung von Hand oder mit Tabellenkalkulationsprogrammen)<br />
Bezeichnung Fläche A z z x A y y x A<br />
Nummer A1 3,00 7,50 22,50 1,50 4,50<br />
Nummer A2 6,00 8,50 51,00 4,00 24,00<br />
Nummer A3 16,00 7,00 112,00 7,00 112,00<br />
Nummer A4 6,00 3,50 21,00 6,00 36,00<br />
Nummer A5 14,00 1,00 14,00 5,50 77,00<br />
S u m m e n 45,00 220,50 253,50<br />
Resultierende auf z - Achse = 4,90 auf y = Achse 5,63<br />
Lösung: z s = 4.90 , y s = 5.63<br />
D:\Eigene Dateien\Goepf\bzb\aktuelles Script\Statik7 web.doc 04.12.2013
Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb - BAULEITER HOCHBAU -<br />
Statik - <strong>Querschnittswerte</strong> - g.bettschen - Seite 7<br />
Beispiel c<br />
Aus 16 Quadraten mit<br />
den Seitenlängen 1<br />
zusammengesetzte<br />
Fläche<br />
Lösung analytisch: Wählen von möglichst wenigen Teilrechtecken und dann Vorgehen<br />
wie in Beispiel b. Lösung: z s = 2.125, y s = 3.315<br />
Lösung graphisch: (Nur zur Information, gehört nicht zum Pflichtstoff)<br />
Da die Formeln für die Schwerpunktsberechnung mit denjenigen für die Bestimmung von<br />
Resultierenden identisch sind, kann der Schwerpunkt auch mit Hilfe des Seilpolygons<br />
gefunden werden.<br />
Man bestimmt für zwei verschiedene Richtungen die Resultierende aller Flächenteilchen,<br />
im Schnittpunkt dieser Resultierenden liegt dann der Schwerpunkt der Fläche.<br />
f) Schwerpunkte von Körpern<br />
Im Bauwesen hat man es meist nur mit prismatischen Körpern zu tun, von denen man im<br />
allgemeinen nur Teile von 1 m Länge oder 1 m Höhe untersucht. Mit der Bestimmung des<br />
Schwerpunktes der Grundflächen dieser Prismen ist dann auch die Lage des<br />
Körperschwerpunktes in halber Länge hinter der Grundfläche oder halber Höhe über oder<br />
unter ihr gegeben.<br />
D:\Eigene Dateien\Goepf\bzb\aktuelles Script\Statik7 web.doc 04.12.2013
Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb - BAULEITER HOCHBAU -<br />
Statik - <strong>Querschnittswerte</strong> - g.bettschen - Seite 8<br />
3) Das Trägheitsmoment<br />
Als Trägheitsmoment einer Fläche bezüglich einer Achse bezeichnet man die Summe der<br />
Produkte, die entstehen, wenn alle Flächenteilchen mit ihrem Abstand im Quadrat<br />
bezüglich dieser Achse multipliziert werden.<br />
Man bezeichnet sie daher auch als Flächenmomente zweiter Ordnung oder quadratische<br />
Flächenmomente.<br />
Sie sind rein mathematische Begriffe und nur von der Grösse und der Form einer<br />
Fläche abhängig.<br />
z<br />
z<br />
y<br />
Das Trägheitsmoment ist also stets positiv<br />
und hat die Dimension mm 4 ( cm 4 , dm 4 , m 4 )<br />
Für die Festigkeitslehre sind besonders die Trägheitsmomente bezüglich von<br />
Schwerachsen wichtig.<br />
Trägheitsmomente bezüglich ihrer Schwerachsen<br />
* R e c h t e c k<br />
dA<br />
dA<br />
Iy<br />
Iz<br />
y<br />
<br />
<br />
z<br />
y<br />
2<br />
2<br />
dA(<br />
vertikal)<br />
dA(<br />
horizontal)<br />
I<br />
y<br />
<br />
A<br />
<br />
z<br />
2<br />
dA<br />
<br />
h<br />
<br />
0<br />
2<br />
b<br />
z dA<br />
Iy = b h 3 / 12<br />
(bez. starker Achse)<br />
Iz = h b 3 / 12<br />
(bez. schwacher Achse)<br />
D:\Eigene Dateien\Goepf\bzb\aktuelles Script\Statik7 web.doc 04.12.2013
Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb - BAULEITER HOCHBAU -<br />
Statik - <strong>Querschnittswerte</strong> - g.bettschen - Seite 9<br />
Berechnung Trägheitsmomente:<br />
D:\Eigene Dateien\Goepf\bzb\aktuelles Script\Statik7 web.doc 04.12.2013
Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb - BAULEITER HOCHBAU -<br />
Statik - <strong>Querschnittswerte</strong> - g.bettschen - Seite 10<br />
Berechnung Trägheitsmomente für Achsen, die keine Schwerachsen<br />
sind (Satz von Steiner)<br />
(Nur zur Information, gehört nicht zum Pflichtstoff)<br />
D:\Eigene Dateien\Goepf\bzb\aktuelles Script\Statik7 web.doc 04.12.2013
Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb - BAULEITER HOCHBAU -<br />
Statik - <strong>Querschnittswerte</strong> - g.bettschen - Seite 11<br />
4) Das Widerstandsmoment<br />
z<br />
Unter dem Widerstandsmoment eines<br />
Punktes versteht man den Quotient, der<br />
entsteht, wenn man das Schwerpunktsträgheitsmoment<br />
durch den Abstand des<br />
Punktes von der Schwerachse dividiert.<br />
W<br />
( p) I z<br />
y<br />
h<br />
o<br />
P<br />
z<br />
l<br />
u<br />
b<br />
r<br />
h/2<br />
h/2<br />
y<br />
Meistens wird das Widerstandsmoment des oberen Randes (Wo), des unteren Randes<br />
(Wu), des linken oder des rechten Randes (Wl, Wr) eines Querschnittes benötigt.<br />
Beispiel: Berechnung Widerstandsmoment beim Rechteckquerschnitt:<br />
D:\Eigene Dateien\Goepf\bzb\aktuelles Script\Statik7 web.doc 04.12.2013
Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb - BAULEITER HOCHBAU -<br />
Statik - <strong>Querschnittswerte</strong> - g.bettschen - Seite 12<br />
5) Das statische Moment<br />
Das Statische Moment, oder auch Flächenmoment 1. Grades, wird immer auf den<br />
Schwerpunkt bezogen berechnet. Es ist im Schwerpunkt am größten und in den am<br />
weitesten vom Schwerpunkt entferntesten differentiell kleinen Teilflächen am Kleinsten<br />
bzw. Null. Die Berechnung erfolgt analog der eines Momentes, nämlich: Summe aus<br />
Teilflächen mal achsenbezogener Abstand aus Teilflächenschwerpunkt zu<br />
Gesamtschwerpunkt (Summe aus Kraft mal Hebelarm). Es sind immer mindestens zwei<br />
Statische Momente in einem Querschnitt vorhanden.<br />
Das Statische Moment findet zum Beispiel bei der Ermittlung der<br />
Schubspannungen Anwendung.<br />
Beispiel zu Berechnung <strong>Querschnittswerte</strong>:<br />
D:\Eigene Dateien\Goepf\bzb\aktuelles Script\Statik7 web.doc 04.12.2013
Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb - BAULEITER HOCHBAU -<br />
Statik - <strong>Querschnittswerte</strong> - g.bettschen - Seite 13<br />
6) Beispiele von Querschnittstabellen<br />
- Rechteck Teil 1 aus Lignum<br />
Weitere Querschnitswerte: siehe entsprechende Tabellenwerke<br />
D:\Eigene Dateien\Goepf\bzb\aktuelles Script\Statik7 web.doc 04.12.2013