Lösungen zu Übung 5

Höhere Mathematik KI Master
Lösung zu Übung 5
(Kombinatorik)
1 2 2
1 3 1
2 1 2
2 2 1
3 1 1
Prof. Dr. B.Grabowski E-Post: grabowski@htw-saarland.de
⎛5⎞⎛
3⎞
⎜ ⎟⎜
⎟
⎝2⎠⎝
2⎠
(5 über 2 Möglichkeiten, 2 Stellen mit der Ziffer 8 zu
belegen, 5 über 3 Möglichkeiten, 2 der verbleibenden 3
Stellen mit der 5 zu belegen, die letzte Stelle bekommt
die 3 zugeordnet)
⎛5⎞
2 ⎜ ⎟ (Erklärung wie in Zeile 1)
⎝3⎠
⎛5⎞⎛
3⎞
⎜ ⎟⎜
⎟ (Erklärung wie in Zeile 2)
⎝2⎠⎝
2⎠
⎛5⎞⎛
3⎞
⎜ ⎟⎜
⎟ (Erklärung wie in Zeile 2)
⎝2⎠⎝
2⎠
⎛5⎞
2 ⎜ ⎟ (Erklärung wie in Zeile 1)
⎝3⎠
Die Anzahl der Codes, welche die Zahlen 3, 5 und 8 enthalten ist gleich der Summe der
letzten Spalte der Tabelle:
⎛5⎞
⎛5⎞⎛
3⎞
Lösung: 3⋅ 2 ⎜ ⎟ + 3⋅ ⎜ ⎟⎜
⎟
⎝3⎠
⎝2⎠⎝
2⎠
= 105
⎛10⎞
10!
Zu c) ⎜ ⎟5!
= (10 über 5 Möglichkeiten 5 Ziffern aus 10 auszuwählen, 5!
⎝ 5 ⎠ 5!
Vertauschungen dieser 5 Ziffern)
⎛5⎞
3 ⎛5⎞
2 ⎛5⎞
Zu d) ⎜ ⎟9
+ ⎜ ⎟9
+ ⎜ ⎟9
+ 1
⎝2⎠
⎝3⎠
⎝4⎠
(genau 2 Stellen enthalten eine 4:
5 über 2 Möglichkeiten für diese 2 Stellen, die mit einer 4 besetzt sind mal 9 hoch 3
Möglichkeiten, die 3 anderen Stellen durch die verbleibenden 9 Ziffern zu besetzten.
genau 3 Stellen enthalten eine 4:
5 über 3 Möglichkeiten für diese 3 Stellen, die mit einer 4 besetzt sind mal 9 hoch 2
Möglichkeiten, die 2 anderen Stellen durch die verbleibenden 9 Ziffern zu besetzten.
genau 4 Stellen enthalten eine 4: analog: 5 über 4 mal 9
genau 5 Stellen enthalten eine 4: 1 Möglichkeit.)
⎛5⎞
3
⎛5⎞
Achtung! Irrtümlich kann man auf die Lösung ⎜ ⎟10
kommen. ( ⎜ ⎟ Möglichkeiten, 2
⎝2⎠
⎝2⎠
Stellen auszuwählen, die mit 4 besetzt werden, die restlichen 3 Stellen können jeweils eine
der 10 Ziffern 0-9 enthalten).
Das ist aber eine falsche Lösung! Hier wird z.B. (4,4, 2,1,4) doppelt gezählt.
(Die 1. und 2. Ziffer ausgewählt, die 5. mit 4 belegt oder die 1. und 5. Ziffer ausgewählt und
die 2. mit 4 belegt)
4