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Höhere Mathematik KI Master Lösung zu Übung 5 (Kombinatorik) Prof. Dr. B.Grabowski E-Post: grabowski@htw-saarland.de Insgesamt gibt es also ⎛n ⎞ ⎛ n ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝k⎠ ⎝k −1⎠ auszuwählen. Möglichkeiten, eine k-elementige Teilmenge aus einer n+1-elementigen Menge Man überzeugt sich leicht davon, dass gilt: ⎛n ⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n + 1⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝k⎠ ⎝k −1⎠ ⎝ k ⎠ für k=0,...,n. Für den Fall k=n+1 gibt es nur eine Möglichkeit, nämlich die Menge selbst. Dafür ist ⎛n + 1⎞ ebenfalls die Formel erfüllt, denn es gilt: ⎜ ⎟ = 1. ⎝n + 1⎠ q.e.d Zu Aufgabe 2) Zu a) Es gibt ⎛12⎞ • ⎜ ⎟ (Anzahl der Möglichkeiten, aus 12 Personen 6 für den Tisch auszuwählen), ⎝ 6 ⎠ • 6! Möglichkeiten, diese 6 Personen am Tisch zu platzieren Ergebnis: Es gibt genau Zu b) ⎛6⎞ ⎛6⎞ ⎛ 6! ⎞ 2 ⎜ ⎟ ⋅ 3! ⎜ ⎟ ⋅ 3! = 2⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎝3⎠ ⎝ 3! ⎠ 2 ⎛12⎞ 12! ⎜ ⎟ 6! = ⎝ 6 ⎠ 6! Sitzordnungen Erklärung : Es können jeweils 3 Damen und 3 Herren Platz in zwei Varianten (Dame auf Platz 1,Herr auf Platz2 ,..... oder Herr auf Platz1, Dame auf Platz2,... ) Platz nehmen . Es gibt gerade jeweils 6 über 3 Möglichkeiten 3 Damen bzw. 3 Herren aus einer Gruppe von jeweils 6 auszuwählen. Zusätzlich gibt es 3! Mögliche Vertauschungen der 3 Personen auf 3 Plätze. Ergebnis: ⎛6⎞ ⎛6⎞ Die Anzahl aller möglichen Sitzordnungs-Kombinationen ist folglich 2 ⎜ ⎟ ⋅ 3! ⎜ ⎟ ⋅ 3! ⎝3⎠ ⎝3⎠ . 2
Höhere Mathematik KI Master Lösung zu Übung 5 (Kombinatorik) Prof. Dr. B.Grabowski E-Post: grabowski@htw-saarland.de Zu Aufgabe 3) ⎛12⎞ Zu a) . ⎜ ⎟ Möglichkeiten, aus 12 Punkten 3 auszuwählen und zu einem Dreieck zu ⎝ 3 ⎠ verbinden. ⎛12⎞ Zu b). ⎜ ⎟ Möglichkeiten, aus 12 Punkten 4 auszuwählen und zu einem Viereck zu ⎝ 4 ⎠ verbinden. Zu c). Als Schnittpunkt betrachten wir den Schnittpunkt zweier verschiedener Geraden. Für einen Schnittpunkt benötigt man 4 Punkte auf dem Kreisbogen: siehe Skizze: Demzufolge ist die Anzahl aller Schnittpunkte gleich der Anzahl aller Möglichkeiten 4 ⎛12 ⎞ Punkte aus den vorgegebenen n=12 Punkten auszuwählen, also = ⎜ ⎟ . ⎝ 4 ⎠ Zu Aufgabe 4) 5 Zu a) 10 (jede der 10 Ziffern kann auf jedem der 5 Plätze stehen) Zu b) Anzahl der Ziffern 3,5,8 im Code 3 5 8 1 1 3 Anzahl der Codes, die diese Anzahl von Ziffern enthalten ⎛5⎞ 2 ⎜ ⎟ ⎝3⎠ (5 über 3 Möglichkeiten, 3 Stellen mit der 8 zu belegen, 2 Möglichkeiten, die verbleibenden Stellen durch 3 und 5 zu belegen) 3
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