Vorlesungsfolien Termin 8
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Grundlagen Digitaler Systeme (GDS)<br />
Prof. Dr. Sven-Hendrik Voß | Wintersemester 2013<br />
Technische Informatik (Bachelor), Semester 1 <strong>Termin</strong> 8, Mittwoch, 27.11.2013
Seite 2 Logische Grundschaltungen | Grundlagen digitaler Systeme | Wintersemester 2013<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Themen und <strong>Termin</strong>e<br />
Lernziele<br />
Logische Grundschaltungen<br />
Halbaddierer<br />
Volladdierer<br />
Mehrstellige Addierer<br />
Subtrahierer<br />
Zusammenfassung
Seite 3 Logische Grundschaltungen | Grundlagen digitaler Systeme | Wintersemester 2013<br />
Themen und <strong>Termin</strong>e - Seminaristischer Unterricht<br />
Seminaristischer Unterricht (SU) im Raum B321, mittwochs 10:00 - 11:30 Uhr<br />
Nr. Datum Themen Kurztest<br />
1 09.10. Einführung; Boolesche Algebra (1)<br />
2 16.10. Boolesche Algebra (2)<br />
3 23.10. Vereinfachung logischer Funktionen (1)<br />
4 30.10. Vereinfachung logischer Funktionen (2)<br />
5 06.11. Zahlensysteme (1)<br />
6 13.11. Zahlensysteme (2) 1<br />
7 20.11. Logische Grundschaltungen (1)<br />
8 27.11. Logische Grundschaltungen (2)<br />
9 04.12. Binär-Codes (1)<br />
10 11.12. Binär-Codes (2) 2<br />
11 18.12. Sequentielle Logik (1)<br />
25.12. Weihnachtsferien<br />
01.01. Weihnachtsferien<br />
12 08.01. Sequentielle Logik (2)<br />
13 15.01. Sequentielle Logik (3)<br />
14 22.01. Busse, Entwicklung Addierwerk 3<br />
15 29.01. Sequentielle Logik (4)<br />
16 05.02. Klausur<br />
17 12.02. Klausurrückgabe und -besprechung
Seite 4 Logische Grundschaltungen | Grundlagen digitaler Systeme | Wintersemester 2013<br />
Lernziele<br />
Nach diesem <strong>Termin</strong> sollten Sie...<br />
◮<br />
◮<br />
◮<br />
◮<br />
Addierschaltungen als weitere Vertreter häufig verwendeter<br />
Datenpfadkomponenten kennengelernt haben<br />
den Unterschied zwischen Halbaddierer und Volladdierer verstanden<br />
haben<br />
den Aufbau, sowie Vor- und Nachteile von Ripple-Carry- und<br />
Carry-Lookahead-Addierern kennen<br />
einen Subtrahierer aus einem Addierer ableitern können
Seite 5 Logische Grundschaltungen | Grundlagen digitaler Systeme | Wintersemester 2013<br />
Logische Grundschaltungen<br />
Alle Grundrechenarten lassen sich auf die Addition zurückführen.<br />
◮<br />
◮<br />
◮<br />
Subtraktion<br />
Multiplikation<br />
Division<br />
→ Addierer: Grundschaltung für alle arithmetischen Operationen
Seite 6 Logische Grundschaltungen | Grundlagen digitaler Systeme | Wintersemester 2013<br />
Halbaddierer<br />
Der Halbaddierer addiert zwei Bit<br />
und stellt im Fall der Addition von<br />
1 + 1 ein Übertragsbit (Carry Bit)<br />
zur Verfügung<br />
Schaltsymbol<br />
a<br />
s<br />
Wahrheitstabelle<br />
b a s c<br />
0 0 0 0<br />
0 1 1 0<br />
1 0 1 0<br />
1 1 0 1<br />
b<br />
Schaltfunktionen für Summe und Carry-Bit<br />
s = (a · b) + (a · b) = a ⊕ b<br />
c = a · b<br />
c
Seite 7 Logische Grundschaltungen | Grundlagen digitaler Systeme | Wintersemester 2013<br />
Volladdierer<br />
Den Volladdierer erhält man durch<br />
Zusammenschaltung von zwei<br />
Halbaddierern<br />
◮<br />
Übertrag des ersten Halbaddierers<br />
als Eingangsgröße<br />
für die zweite XOR-<br />
Verknüpfung verwendet<br />
Wahrheitstabelle<br />
c i−1 b i a i s i c i a i ⊕ b i<br />
0 0 0 0 0 0<br />
0 0 1 1 0 1<br />
0 1 0 1 0 1<br />
0 1 1 0 1 0<br />
1 0 0 1 0 0<br />
1 0 1 0 1 1<br />
1 1 0 0 1 1<br />
1 1 1 1 1 0<br />
Schaltsymbol<br />
a i<br />
b i<br />
c i-1<br />
Kaskadierung der zwei XOR-Gatter zur<br />
Realisierung der Funktion s i<br />
a i<br />
=1<br />
b i =1<br />
c i-1<br />
s i<br />
c i<br />
s i
Seite 8 Logische Grundschaltungen | Grundlagen digitaler Systeme | Wintersemester 2013<br />
Volladdierer<br />
Mögliche Realisierung eines Volladdierers für zwei Bit<br />
a i<br />
b i<br />
=1<br />
=1<br />
s i<br />
&<br />
&<br />
>=1<br />
c i<br />
c i-1<br />
G i<br />
P i<br />
Im wesentlichen: zwei Halbaddierer (zzgl. OR-Gatter)<br />
Ausgangssignale G i und P i relevant für Addierer mit Parallelübertrag<br />
(Carry-Lookahead Generator)
Seite 9 Logische Grundschaltungen | Grundlagen digitaler Systeme | Wintersemester 2013<br />
Mehrstellige Addierer<br />
Schaltung eines 4-Bit-Addierers mit seriellem Übertrag<br />
a 0<br />
b 0 a 1<br />
c 0<br />
s 1<br />
b 1 a 2<br />
c 1<br />
s 2<br />
b 2 a 3<br />
c 2<br />
s 3<br />
b 3<br />
c 3<br />
0 = c -1<br />
s 0<br />
Addition der vierstelligen Binärzahlen<br />
a = a 0 + a 1 2 + a 2 2 2 + a 3 2 3 und b = b 0 + b 1 2 + b 2 2 2 + b 3 2 3<br />
durch Zusammenschaltung von vier Halbaddierern<br />
◮<br />
◮<br />
für i Stellen: i Volladdierer oder i-1 Volladdierer und 1 Halbaddierer<br />
Ergebnis maximal (i+1)-stellig<br />
→ kaskadierbares Addierwerk, mit dem man i-stellige Addierwerke<br />
bauen kann (Ripple-Carry-Addierer mit Übertragsdurchlauf)
Seite 10 Logische Grundschaltungen | Grundlagen digitaler Systeme | Wintersemester 2013<br />
Mehrstellige Addierer<br />
Serienübertrag: Durchschleifen der Carry-Signale von der niedrigsten bis zur<br />
höchsten Stelle bedingt lange Laufzeiten<br />
Abhilfe: aufwendigeres Carry-Lookahead Prinzip<br />
Parallele Erzeugung der Überträge für alle Binärstellen der Summanden aus<br />
◮<br />
◮<br />
weitergereichtem ( ”<br />
propagated“) Übertrag: P i = a i ⊕ b i<br />
generiertem ( ”<br />
generated“) Übertrag: G i = a i · b i<br />
Anwendung auf Summen- und Carry-Berechnung<br />
c i = (a i · b i ) + c i−1 · (a i ⊕ b i ) = G i + c i−1 · P i<br />
s i = (a i ⊕ b i ) ⊕ c i−1 = P i ⊕ c i−1
Seite 11 Logische Grundschaltungen | Grundlagen digitaler Systeme | Wintersemester 2013<br />
Mehrstellige Addierer<br />
Für das Beispiel der vierstelligen Binärzahlen (c −1 = 0)<br />
c 0 = G 0<br />
c 1 = G 1 + P 1 · c 0 = G 1 + P 1 · G 0<br />
c 2 = G 2 + P 2 · c 1 = G 2 + P 2 · G 1 + P 2 · P 1 · G 0<br />
c 3 = G 3 + P 3 · c 2 = G 3 + P 3 · G 2 + P 3 · P 2 · G 1 + P 3 · P 2 · P 1 · G 0<br />
→<br />
Übertragsgenerator (Schaltnetz) zur Bildung der Carry-Signale als<br />
kombinatorische Schaltfunktionen der Eingangssignale aller Stellen
Seite 12 Logische Grundschaltungen | Grundlagen digitaler Systeme | Wintersemester 2013<br />
Mehrstellige Addierer<br />
Addierer mit Übertrags-Generator (Carry-Lookahead Generator)<br />
s0<br />
s1<br />
s2<br />
s3<br />
a0<br />
b0<br />
a1<br />
b1<br />
a2<br />
b2<br />
a3<br />
b3<br />
c0<br />
c1<br />
c2<br />
0 = c-1<br />
G0<br />
P0<br />
G1 P1<br />
G2 P2<br />
G3 P3<br />
G0<br />
CPG<br />
G1<br />
G2<br />
G3<br />
P0<br />
P1<br />
P2<br />
c0<br />
c1<br />
c2<br />
c3<br />
P3
Seite 13 Logische Grundschaltungen | Grundlagen digitaler Systeme | Wintersemester 2013<br />
Subtrahierer<br />
Erweiterung des Addierwerks zum Addier-/Subtrahierwerk<br />
m<br />
b0<br />
=1<br />
b1<br />
=1<br />
b2<br />
=1<br />
b3<br />
=1<br />
a0<br />
a1<br />
a2<br />
a3<br />
c-1<br />
c0<br />
c1<br />
c2<br />
c3<br />
mit m: Modusbit<br />
s0<br />
s1<br />
s2<br />
s3<br />
◮<br />
◮<br />
= 1 → XOR invertiert das Eingangssignal und setzt das Carry-In Bit,<br />
hierdurch entsteht das Zweierkomplement und aus der Addition wird<br />
eine Subtraktion<br />
= 0 → XOR verändert das Eingangssignal nicht, normale Addition
Seite 14 Logische Grundschaltungen | Grundlagen digitaler Systeme | Wintersemester 2013<br />
Subtrahierer<br />
Subtraktion durch Vorzeichenwechsel des Subtrahenden als Addition<br />
durchführbar<br />
◮<br />
◮<br />
Vorzeichenwechsel durch Zweierkomplement (Invertierung aller Bits und<br />
anschließende Addition mit 1)<br />
Invertierung durch Vorschaltung von XOR-Verknüpfungen am Eingang<br />
des zweiten Operanden<br />
◮ Addition von 1 durch Setzen des Carry-In (c −1 )
Seite 15 Logische Grundschaltungen | Grundlagen digitaler Systeme | Wintersemester 2013<br />
Zusammenfassung<br />
Heute haben Sie gelernt...<br />
◮<br />
◮<br />
◮<br />
◮<br />
was ein Halb- und Volladdierer ist<br />
wie man mehrstellige Addierer baut<br />
welche Optimierungsmöglichkeiten von Addierschaltungen es gibt<br />
wie sich eine Subtraktion aus einem Addierer ableiten lässt
Seite 16 Logische Grundschaltungen | Grundlagen digitaler Systeme | Wintersemester 2013<br />
Ausblick auf nächste Stunde<br />
In der nächsten Stunde widmen wir uns...<br />
◮<br />
◮<br />
digitalen Darstellungen, insbesondere numerischen Codes<br />
der Anwendung solcher Codes
Seite 17 Logische Grundschaltungen | Grundlagen digitaler Systeme | Wintersemester 2013<br />
Hinweise zum Selbststudium<br />
Zur Vertiefung wird empfohlen...<br />
◮<br />
GDS-Skript<br />
◮ Pernards: Digitaltechnik Band 1, Hüthig Verlag, ISBN 3778528157
Seite 18 Logische Grundschaltungen | Grundlagen digitaler Systeme | Wintersemester 2013<br />
Kritik<br />
Nun sind Sie dran:<br />
◮<br />
◮<br />
◮<br />
◮<br />
Kritik: Was funktioniert gut / was schlecht?<br />
Anregungen<br />
Wünsche<br />
Verbesserungsvorschläge in Bezug auf Inhalt und Organisation der<br />
Vorlesung
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