Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik
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86 9 Energie und Impuls Die in diesem Transformationsgesetz auftretenden Matrizen M Λ,a sind dadurch eingeschränkt, daß eine weitere Transformation x ′′ = Λ 2 x ′ + a 2 , die einer ersten Transformation x ′ = Λ 1 x + a 1 folgt, auch gleich direkt ausgewertet werden kann x ′′ = Λ 2◦1 x + a 2◦1 , Λ 2◦1 = Λ 2 Λ 1 , a 2◦1 = a 2 + Λ 2 a 1 . (9.5) Für beliebige Werte der additiven Erhaltungsgrößen muß daher φ ′′ = M Λ2◦1 , a 2◦1 φ = M Λ2 ,a 2 M Λ1 , a 1 φ (9.6) gelten. Also müssen die Matrizen M Λ,a die Poincarétransformationen darstellen (3.105): Produkte der Matrizen M Λ,a müssen die Matrix ergeben, die zur hintereinander ausgeführten Transformation gehört M Λ2◦1 , a 2◦1 = M Λ2 , a 2 M Λ1 , a 1 . (9.7) Poincarétransformationen transformieren auch den Definitionsbereich der Erhaltungsgrößen, den Jetraum, durch Transformationen J Λ,a , die sich aus (6.24, 6.27) ergeben. Als Jetfunktionen transformieren die Erhaltungsgrößensie unter der zugehörigen adjungierten Transformation (3.108) ad Λ,a φ = M Λ,a ◦ φ ◦ J −1 Λ,a . (9.8) Ruhende Beobachter lassen sich nur dann nicht von bewegten Beobachtern unterscheiden, falls diese transformierten Funktionen mit den ursprünglichen Funktionen übereinstimmen, falls also ad Λ,a = id die triviale Realisation der Poincaré-Gruppe ist: das Teilchen am transformierten Ort mit transformierter Geschwindigkeit hat den transformierten Wert der Erhaltungsgröße des Teilchens am ursprünglichen Ort mit der ursprünglichen Geschwindigkeit Viererimpuls φ ◦ J Λ,a = M Λ,a ◦ φ . (9.9) Im einfachten Fall sind die Matrizen M Λ,a durch Λ selbst gegeben und die Erhaltungsgrößen eines Teilchens sind Funktionen von J 1 . Dann handelt es sich um vier Komponentenfunktionen p = (p 0 , p 1 , p 2 , p 3 ), die höchstens von der Zeit t, dem Ort ⃗x, die wir als x = (t,⃗x) zusammenfassen, und der Geschwindigkeit ⃗v abhängen. Im Vorgriff auf das Ergebnis unserer Betrachtung nennen wir die Erhaltungsgröße den Viererimpuls. Wegen (9.9) gilt p(Λx + a,⃗v ′ ) = Λ p(x,⃗v) . (9.10) Für Λ = 1 und x = 0 besagt dies p(a,⃗v) = p(0,⃗v): der Viererimpuls hängt nicht vom Ort oder der Zeit, sondern nur von der Geschwindigkeit des Teilchens ab, p(x,⃗v) = p(⃗v) . Wenn sich ein Teilchen langsamer als Licht bewegt, dann gibt es das Bezugssystem eines mitbewegten Beobachters, für den das Teilchen ruht. Da ⃗v = 0 invariant unter
87 Drehungen D ist, D0 = 0, und da der Viererimpuls eine Funktion der Geschwindigkeit ist, ändern Drehungen nicht den Viererimpuls p eines ruhenden Teilchens, p(D(0)) = D p(0) = p(0) . Es ist 0 der einzige unter allen Drehungen invariante Dreiervektor. Folglich verschwindet im Ruhsystem eines Teilchens der räumliche Anteil ⃗p = (p 1 , p 2 , p 3 ) des Viererimpulses, und er hat die Form p Ruhe = p(⃗v = 0) = (m, 0, 0, 0) . (9.11) Durch Lorentztransformationen wird ein ruhendes Teilchen mit ⃗v = 0 auf ein bewegtes Teilchen mit Geschwindigkeit v i = Λ i 0/Λ 0 0 transformiert (6.27). Aus p(⃗v) = Λp(0) folgt dann mit (6.21) der Viererimpuls eines Teilchens, das sich mit Geschwindigkeit v in x-Richtung bewegt, ( p 0 p 1 ) = ( ( ) ( 1 m 1 v m √ = 1 − v 2 v 1) 0 √ 1−v 2 m v √ 1−v 2 ) . (9.12) Drehen wir schließlich die Bewegung in eine beliebige Richtung und fügen wir die Faktoren c ein, die in konventionellen Maßsystemen die Formeln der relativistischen Physik überfrachten, so erhalten wir den Viererimpuls eines Teilchens mit Geschwindigkeit ⃗v p 0 (⃗v) = √ m c , ⃗p(⃗v) = √ m⃗v . (9.13) 1 − ⃗v2 1 − ⃗v2 c 2 c 2 Wir benennen die Komponenten des Viererimpulses so wie diejenigen Größen der Newtonschen Physik, mit denen sie im Grenzfall kleiner Geschwindigkeiten übereinstimmen. Bis auf höhere Potenzen von v/c gilt Also ist E = c p 0 die Energie, p 0 (⃗v) = m c + 1 m 2 c ⃗v2 + . . . , ⃗p(⃗v) = m⃗v + . . . . (9.14) E = m c2 √ 1 − v2 c 2 , (9.15) und (p 1 , p 2 , p 3 ) sind die Komponenten des Impulses ⃗p. Die durch c 2 geteilte Ruheenergie ist die Masse m des Teilchens. Sie ist positiv, und die Energie ist nach unten beschränkt. Mit ähnlichen Argumenten erschließt man für lichtschnellen Teilchen, daß ihr Viererimpuls ein Vielfaches des Tangentialvektors k = dx/dλ an ihre Weltlinie ist, p ∝ k . (9.16) Bewegt sich das Teilchen mit positiver Energie in beliebige Richtung, so gilt wegen k 2 = 0 in Maßsystemen mit c = 1 E = p 0 = |⃗p| . (9.17) Allerdings legt die Weltlinie nicht die Energie fest. Die Energie ist positiv und kann im übrigen beliebig sein: Es gibt rote und blaue Lichtstrahlen.
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Drehungen D ist, D0 = 0, <strong>und</strong> da <strong>der</strong> Viererimpuls eine Funktion <strong>der</strong> Geschwindigkeit<br />
ist, än<strong>der</strong>n Drehungen nicht den Viererimpuls p eines ruhenden Teilchens, p(D(0)) =<br />
D p(0) = p(0) . Es ist 0 <strong>der</strong> einzige unter allen Drehungen invariante Dreiervektor.<br />
Folglich verschwindet im Ruhsystem eines Teilchens <strong>der</strong> räumliche Anteil ⃗p = (p 1 , p 2 , p 3 )<br />
des Viererimpulses, <strong>und</strong> er hat die Form<br />
p Ruhe = p(⃗v = 0) = (m, 0, 0, 0) . (9.11)<br />
Durch Lorentztransformationen wird ein ruhendes Teilchen mit ⃗v = 0 auf ein bewegtes<br />
Teilchen mit Geschwindigkeit v i = Λ i 0/Λ 0 0 transformiert (6.27). Aus p(⃗v) = Λp(0)<br />
folgt dann mit (6.21) <strong>der</strong> Viererimpuls eines Teilchens, das sich mit Geschwindigkeit v<br />
in x-Richtung bewegt,<br />
(<br />
p<br />
0<br />
p 1 )<br />
=<br />
( ( ) (<br />
1<br />
m<br />
1 v m<br />
√ =<br />
1 − v<br />
2 v 1)<br />
0<br />
√<br />
1−v 2<br />
m v √<br />
1−v 2<br />
)<br />
. (9.12)<br />
Drehen wir schließlich die Bewegung in eine beliebige Richtung <strong>und</strong> fügen wir die Faktoren<br />
c ein, die in konventionellen Maßsystemen die Formeln <strong>der</strong> relativistischen <strong>Physik</strong><br />
überfrachten, so erhalten wir den Viererimpuls eines Teilchens mit Geschwindigkeit ⃗v<br />
p 0 (⃗v) =<br />
√<br />
m c , ⃗p(⃗v) = √<br />
m⃗v . (9.13)<br />
1 − ⃗v2 1 − ⃗v2<br />
c 2 c 2<br />
Wir benennen die Komponenten des Viererimpulses so wie diejenigen Größen <strong>der</strong> Newtonschen<br />
<strong>Physik</strong>, mit denen sie im Grenzfall kleiner Geschwindigkeiten übereinstimmen.<br />
Bis auf höhere Potenzen von v/c gilt<br />
Also ist E = c p 0 die Energie,<br />
p 0 (⃗v) = m c + 1 m<br />
2 c ⃗v2 + . . . , ⃗p(⃗v) = m⃗v + . . . . (9.14)<br />
E =<br />
m c2<br />
√<br />
1 − v2<br />
c 2 , (9.15)<br />
<strong>und</strong> (p 1 , p 2 , p 3 ) sind die Komponenten des Impulses ⃗p. Die durch c 2 geteilte Ruheenergie<br />
ist die Masse m des Teilchens. Sie ist positiv, <strong>und</strong> die Energie ist nach unten beschränkt.<br />
Mit ähnlichen Argumenten erschließt man für lichtschnellen Teilchen, daß ihr Viererimpuls<br />
ein Vielfaches des Tangentialvektors k = dx/dλ an ihre Weltlinie ist,<br />
p ∝ k . (9.16)<br />
Bewegt sich das Teilchen mit positiver Energie in beliebige Richtung, so gilt wegen k 2 = 0<br />
in Maßsystemen mit c = 1<br />
E = p 0 = |⃗p| . (9.17)<br />
Allerdings legt die Weltlinie nicht die Energie fest. Die Energie ist positiv <strong>und</strong> kann im<br />
übrigen beliebig sein: Es gibt rote <strong>und</strong> blaue Lichtstrahlen.
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