Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

9 Energie und Impuls
Erhaltungsgrößen sind Jetfunktionen φ, die auf physikalischen Bahnen als Funktion der
Zeit konstant sind,
d t φ ◦ ˆf phys = 0 . (9.1)
So sind in der Newtonschen Physik bei einem kräftefreien Teilchen wegen der Bewegungsgleichung
(7.9) der Impuls ⃗p Newton = m⃗v und die Energie E Newton erhalten
⃗p Newton = m⃗v , E Newton = E 0 + 1 2 m⃗v2 . (9.2)
Welchen Wert die Energie für verschwindende Geschwindigkeit hat, ist in Newtonscher
Physik belanglos, E 0 wird normalerweise einfach Null gesetzt.
Bei der Bewegung eines Teilchens ist seine Masse m eine triviale Erhaltungsgröße,
nämlich eine konstante Jetfunktion. Aber Masse ist nicht in allen physikalischen Vorgängen
additiv erhalten: bei Teilchenzerfällen ist die anfängliche Masse größer als die
Summe der Massen der Zerfallsprodukte.
Trotz ihrer Einfachheit sollte man konstante Jetfunktionen nicht definitionsgemäß aus
der Menge der Erhaltungsgrößen ausschließen, denn es ist vorteilhaft, diese Menge als
einen Vektorraum verstehen zu können, und Linearkombinationen nichttrivialer Jetfunktionen
können konstant sein.
Transformation additiver Erhaltungsgrößen
Natürlich sind bei einem freien Teilchen alle Funktionen der Geschwindigkeit Erhaltungsgrößen,
denn die Geschwindigkeit ist bei kräftefreier Bewegung konstant. Die besondere
Bedeutung von Energie und Impuls rührt daher, daß sie additive Erhaltungsgrößen sind,
das heißt, die Summe der Impulse und der Energien mehrerer Teilchen sind auch dann
noch Erhaltungsgrößen, wenn die Teilchen nicht frei sind und sich die einzelnen Impulse
und Energien zum Beispiel durch elastische Stöße ändern.
Stellt ein gleichförmig bewegter Beobachter additive Erhaltungsgrößen φ fest, so liegen
auch für jeden anderen Beobachter, der Poincaré-transformierte Koordinaten x ′ = Λ x+a
(6.24) verwendet, additive Erhaltungsgrößen φ ′ vor, und es gibt eine Transformation,
die die Erhaltungsgrößen ineinander umzurechnen gestattet.
Weil die Erhaltungsgrößen additiv sind, müssen ihre Werte linear transformieren
(φ (1) + φ (2) ) ′ = φ ′ (1) + φ ′ (2) , (cφ) ′ = cφ ′ , (9.3)
denn für beide Beobachter sind die Erhaltungsgrößen Summen und Vielfache der einzelnen
Teile. Die Transformation der Werte der Erhaltungsgrößen ist also wie eine Lorentztransformation
von der Form
φ ′ = M Λ,a φ . (9.4)