Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

82 8 Einfache Beispiele von Bahnkurven
⃗F gesamt
✑✰
❏❪
❏ ⃗F Zwang
⃗F Gewicht
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Abbildung 8.1: Schiefe
Ebene
alle Bahnen, die in der Ebene verlaufen, senkrecht auf dem
Gradienten von φ steht,
dx i
dt ∂ iφ |φ(x)=0 = 0 . (8.5)
Dies legt nicht vollständig fest, wie die Zwangskraft wirkt.
Denkbar wäre, daß die Ebene wie ein Förderband oder ein
Mühlrad dem Teilchen Energie hinzufügt oder entzieht und
Kräfte in Bewegungsrichtung auf das Teilchen ausübt. Beides
widerspricht bei ideal reibungsfreier Bewegung der Erfahrung.
Bei reibungsfreier Bewegung ist die Zwangskraft an jedem Ort
senkrecht zur Tangentialebene, die von den dort möglichen Geschwindigkeiten
aufgespannt wird und zeigt in Richtung des
Gradienten der Zwangsbedingung
dx i
dt F iZwang = 0 , F iZwang (x, v) = λ(x, v) ∂ i φ(x) . (8.6)
Der Faktor λ hängt bei einer Zwangsbedingung, die die Bewegung auf eine gekrümmte
Fläche einschränkt, nicht nur vom Ort, sondern auch von der Geschwindigkeit ab. Wie
groß er auf den Bahnen ist, die physikalisch durchlaufen werden, ergibt sich durch Differenzieren
von (8.5) und den Newtonschen Bewegungsgleichungen mit einer Gesamtkraft
F i + λ ∂ i φ,
0 = m d2 x i
dt ∂ iφ + m dxi dx j
2 dt dt ∂ i∂ j φ = (λ ∂ i φ + F i ) ∂ i φ + m dxi dx j
dt dt ∂ i∂ j φ . (8.7)
Es ist also
1 ( dx i dx j
λ = − m
∂ k φ∂ k φ dt dt ∂ i∂ j φ + F i ∂ i φ ) . (8.8)
Auf der schiefen Ebene verschwindet die zweite Ableitung von φ und die Zwangskraft
⃗F Zwang = λ (0, − sinϕ, cosϕ) kompensiert das Gewicht ⃗F Gewicht = (0, 0, −m g) in Normalenrichtung
⃗n = (0, − sinϕ, cosϕ) der Ebene. Es verschwindet also das Skalarprodukt
⃗n ·(⃗F Zwang + ⃗F Gewicht ) = λ − cosϕmg des Normalenvektors mit der Gesamtkraft. Dies
bestimmt λ = m g cosϕ und die Gesamtkraft
⎛ ⎞
0
⃗F gesamt = ⃗F Zwang +⃗F Gewicht = −m g sin ϕ ⎝cosϕ⎠ . (8.9)
sin ϕ
Auf den Lösungskurven der Newtonschen Bewegungsgleichungen m¨⃗x = ⃗F gesamt und der
Zwangsbedingung −y sin ϕ + z cosϕ = 0
x(t) = x(0)+u x t , y(t) = y(0)+u y t− 1 2 g sinϕcosϕt2 , z(t) = tanϕy(t) (8.10)
ändert sich im Laufe der Zeit die Energie E = 1 2 ⃗v2 +mgz nicht, wie man durch Nachrechnen
bestätigt. Die Zwangsbedingung schränkt zwar den Ort und die Geschwindigkeit des
Teilchens ein, ändert aber nicht, wie die Energie davon abhängt.