Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

8 Einfache Beispiele von Bahnkurven
Fall im homogenen Gravitationsfeld
Die nichtrelativistische Bewegung im homogenen Gravitationsfeld, ⃗F = −m g (0, 0, 1) ,
unterliegt den Newtonschen Bewegungsgleichungen
m ẍ(t) = 0 , m ÿ(t) = 0 , m ¨z(t) = −m g ,
x(t) = x 0 + u x t , y(t) = y 0 + u y t , z(t) = z 0 + u z t − 1 2 g t2 .
(8.1)
Die allgemeine Lösung solch einer linear inhomogenen Gleichung, Lz = a, ist, wenn eine
spezielle Lösung Lz speziell = a existiert, wenn also a im Bildbereich von L liegt, die
Summe z = z speziell + z homogen dieser speziellen Lösung und einer Lösung der homogenen
Gleichung, Lz homogen = 0. Denn die Differenz zweier Lösungen z und ẑ löst die homogenen
Gleichung, L(z − ẑ) = (Lz) − (Lẑ) = a − a = 0. Im vorliegenden Fall ist die
allgemeine Fallkurve die Superposition von senkrechtem Fall, bei dem zur Zeit t = 0 der
Scheitelpunkt ⃗x = 0 durchlaufen wird, mit gleichförmiger Bewegung.
Im homogenen Gravitationsfeld ist die Summe von kinetischer Energie E kin = 1 2 m⃗v2
und potentieller Energie E pot = m g z, die Energie
E = 1 2 m⃗v2 + m g z , (8.2)
erhalten. Ihre Zeitableitung
d t E = m⃗b⃗v + m g v z = ⃗v ( m⃗b + m g⃗e z
)
(8.3)
verschwindet auf physikalischen Bahnen, denn sie erfüllen die Newtonschen Bewegungsgleichungen
( m⃗b + m g⃗e z
)
◦ ˆfphys = 0.
Zwangsbedingungen
Wenn ein Teilchen der Masse m im homogenen Schwerefeld eine Ebene herabgleitet, die
um den Winkel ϕ gegenüber der Horizontalen geneigt ist, dann sind die möglichen Orte
durch eine Zwangsbedingung φ(x) = 0 eingeschränkt, wobei φ in diesem Beispiel durch
φ(x 1 , x 2 , x 3 ) = −x 2 sin ϕ + x 3 cosϕ (8.4)
gegeben sei.
Die Ebene übt auf das Teilchen eine Kraft ⃗F Zwang aus, die erzwingt, daß das Teilchen
nicht eindringt, sondern daß die Bahn jederzeit in der Ebene verläuft.
Differenzieren der Zwangsbedingung φ(x(t)) = 0 zeigt, daß die Geschwindigkeit für