Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

6 Bezugssysteme
Die Bewegung eines Punktteilchens wird durch den Ort ⃗x angegeben, den es mit der
Zeit t durchläuft,
⃗f : t ↦→ ⃗f(t) = ⃗e i f i (t) . (6.1)
Diese Kurve im Ortsraum heißt Bahn des Teilchens. Für ⃗f(t) schreiben wir auch ⃗x(t),
aber dann haben Bahnen und Orte denselben Namen ⃗x.
Bei zeitunabhängigen Basisvektoren ⃗e i sind die Komponenten der Geschwindigkeit
⃗v(t) = d ⃗f
dt| t
= ⃗e i
df i
dt | t
= ⃗e i ḟ i (t) (6.2)
die Zeitableitungen der Komponenten des Ortsvektors. Die Beschleunigung
⃗b(t) = d⃗v
dt | t
= d2 ⃗f
dt 2 | t
= ⃗e i
d 2 f i
dt 2 | t
= ⃗e i ¨fi (t) (6.3)
eines Teilchens erfordert wegen der Impulserhaltung die Übertragung von Impuls.
Der Impuls ⃗p eines Teilchens der Masse m > 0 ist, wie wir noch herleiten werden, in
Maßsystemen mit c = 1
⃗p = √ m⃗v . (6.4)
1 − v
2
Hierbei schreiben wir für das Betragsquadrat ⃗v 2 kürzer und lesbarer v 2 .
Der Impuls und damit die Geschwindigkeit bleibt unverändert, wenn nicht von anderen
Teilchen oder Feldern Impuls auf das Teilchen übertragen wird. Die Kraft ⃗F ist der auf
das Teilchen pro Zeit übertragene Impuls,
d⃗p
dt = ⃗F . (6.5)
Für Geschwindigkeiten, die klein gegen die Lichtgeschwindigkeit c = 1 sind, gilt näherungsweise
bis auf Terme der Ordnung O(v 2 ),
⃗p ≈ m⃗v (6.6)
und die Newtonsche Bewegungsgleichung, Kraft ist auf physikalischen Bahnen gleich
Masse mal Beschleunigung,
m ¨⃗x ≈ ⃗F . (6.7)
Die Bewegungsgleichung (6.5) ist mehr als eine Definition der Kraft, da man gleichen
Impulsübertrag ⃗F dt durch zum Beispiel gleichen Rückstoß feststellen kann und seine
Auswirkung auf verschieden bewegte Teilchen durch (6.5) gegeben ist.