Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

72 5 Funktionen mehrerer Variablen
Konforme Transformationen
Konform heißen Transformationen, die Kugelflächen auf Kugelflächen abbilden. Die
Durchmesser kleiner Kugelflächen werden dabei unabhängig von ihrer Richtung gleich
gestreckt oder gestaucht – es gehen ja Kugeln in Kugeln über. Daher bleiben die Größenverhältnisse
kleiner, benachbarter Objekte ungeändert. Schnittwinkel von Kurven sind
das Verhältnis von infinitesimalen Bogenlängen und Radien. Da sie um denselben Faktor
geändert werden, sind konforme Transformationen winkeltreu.
Offensichtlich sind Translationen, Drehungen und Streckungen konform. Aber auch
die Inversion an der Kugelfläche K R, ⃗A mit Mittelpunkt ⃗A und Radius R > 0
I R, ⃗A : ⃗x ↦→ ⃗x′ = R 2 ⃗x − ⃗A
(⃗x − ⃗A) 2 + ⃗A , (5.63)
die Abstände von ⃗A invertiert, (⃗x′ −⃗A) 2
= R2
R 2 (⃗x−⃗A) 2, ist konform. Denn die Punkte ⃗x einer
Kugelfläche K r, ⃗m erfüllen (⃗x − ⃗m) 2 = r 2 , also eine Gleichung der Form
a ∑ i
(x i ) 2 + b i x i + c = 0 , b 2 > 4 a c , (5.64)
bei der die quadratischen Terme ein Vielfaches des Längenquadrats sind. Durch (⃗x− ⃗A) 2
geteilt, folgt a ′ + b ′ i x′ i + c ∑ ′ j (x′ j ) 2 = 0, also die Gleichung einer Kugelfläche für die
Bildpunkte x ′ .
Damit die Inversion I R, ⃗A
eine Transformation
einer Mannigfaltigkeit ist, also überall definiert
S ′
und invertierbar ist, müssen wir R 3 um den Bildpunkt
von ⃗A ergänzen und I R, ⃗A
als Selbstabbildung
der Sphäre S 3 = R 3 ∪ {∞} deuten.
Falls die zu transformierende Kugelfläche das
Inversionszentrum ⃗A enthält, so ist das Bild der
Kugelfläche eine Ebene. Um diese Sonderfälle
p nicht als Ausnahmen formulieren zu müssen, zählen
wir praktischerweise die Ebenen zu den Kugelflächen
(5.64) mit a = 0.
I(S)
I(p)
S
Insbesondere bildet die Inversion I √ 2,⃗e z
an der
Kugel S ′ = K √ 2,⃗e z
um den Nordpol der Einheitskugel
S = K 1, ⃗0 , die sie im Äquator schneidet, die
Einheitskugel S auf die z-Ebene ab,
Abbildung 5.2: Stereographische
Projektion als Inversion an S ′
I √ 2,⃗e z
(x, y, z) = |x 2 +y 2 +z 1 =1
( x
1 − z , y
1 − z , 0) ,
(5.65)
denn x 2 + y 2 + (z − 1) 2 ist auf der Einheitskugel 2(1 − z). Also ist die stereographische
Projektion (5.27) die Inversion an der Kugelfläche S ′ = K √ 2,⃗e z
und folglich eine konforme
Abbildung. Sie bildet Kreise auf Kreise ab, ist winkeltreu und erhält Größenverhältnisse
kleiner, benachbarter Objekte.