Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik
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68 5 Funktionen mehrerer Variablen nehmen, wobei die partiellen Ableitungen ∂ x ′jx i am Punkt p nach (5.40) gleich den Ableitungen von x(x ′ ) bei x ′ = φ β (p) sind. Aus dengleichen Gründen wie (5.44) gilt ∂ i = ∂x′ k ∂x i ∂′ k , (5.45) denn welche Koordinaten wir x und welche wir x ′ nennen, ist unerheblich. In (5.44) eingesetzt ergibt sich, weil die partiellen Ableitungen linear unabhängig sind, ∂x i ∂x ′ k = δ k ∂x ′ j |x ′ (x) ∂x i j . (5.46) |x Wie bei (4.12) ist die Ableitung der inversen Transformation das Inverse der Ableitung der Transformation. Die Matrix der partiellen Ableitungen der Funktionen x ′ (x) J j i(x) = ∂ i x ′ j | x (5.47) heißt Jacobimatrix [18] der Koordinatentransformation x ′ (x) . Bei kartesischen und bei Kugelkoordinaten (5.30) ist sie ⎛ ⎞ ∂r ∂r ∂r ⎛ x y ∂x ∂y ∂z √x J = ∂θ ∂θ ∂θ ⎜ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎟ ⎠ = 2 +y 2 +z 2 ⎜ zx z y ⎝(x ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ 2 +y 2 +z 2 ) √x 2 +y 2 (x 2 +y 2 +z 2 ) ∂x ∂y ∂z − y x 2 +y 2 √ z √x 2 +y 2 +z 2 x 2 +y 2 +z √ 2 x − √x 2 +y 2 2 +y 2 x 2 +y 2 +z 2 x 0 x 2 +y 2 ⎞ ⎟ ⎠ . (5.48) Für die Jacobi-Matrix der Umkehrfunktionen mit Matrixelementen N j k(x ′ ) = ∂ ′ k xj | x ′ erhalten wir in diesem Beispiel ⎛ ⎞ ∂x ∂x ∂x ⎛ ⎞ ∂r ∂θ ∂ϕ N = ⎜∂y ∂y ∂y sin θ cosϕ r cosθcosϕ −r sin θ sin ϕ ⎟ ⎝ ∂r ∂θ ∂ϕ⎠ = ⎝sin θ sin ϕ r cosθsin ϕ r sin θ cosϕ⎠ . (5.49) ∂z ∂z ∂z cosθ −r sin θ 0 ∂r ∂θ ∂ϕ Drückt man in (5.48) die kartesischen Koordinaten durch die Kugelkoordinaten aus, so bestätigt Matrixmultiplikation in diesem Beispiel NJ = 1 (5.46). Wegen (5.45) hängen die Komponenten von Tangentialvektoren v bei p in verschiedenen Koordinatensystemen durch v ′ j = ∂x′ j ∂x i vi (5.50) miteinander zusammen, denn v = v i ∂ i = v i (∂ x ix ′ j )∂ x ′j = v ′ j ∂ ′ j . Für die entsprechende Koordinatendarstellungen heißt dies v ′ j (x ′ (x)) = ∂x′ j ∂x i | x v i (x) . (5.51)
69 Zum Formelbild: Der Index j tritt auf beiden Seiten in gleicher Stellung auf, nämlich oben, und betrifft in beiden Ausdrücken Komponenten und Koordinaten des gleichen, des gestrichenen Koordinatensystems. Der Summationsindex i tritt auf der rechten Seite unten und oben auf und betrifft ungestrichene Koordinaten und Komponenten. Das Argument x ′ ist das Transformierte von x. In Matrixschreibweise ergibt sich der Spaltenvektor der Komponenten v ′ als Produkt der Matrix J mit dem Spaltenvektor der Komponenten v, v ′ = J v. Die Äquivalenzklasse dh |p von Funktionen, deren Ableitungen bei p mit denen von h übereinstimmen, hängt nicht vom Koordinatensystem ab. Denn verwenden wir als Basis für dh |p die Äquivalenzklassen der Koordinatenfunktionen x(p) = φ α (p) oder x ′ (p) = φ α (p), so sind die einen Koordinaten Funktionen der anderen, x(x ′ ) = φ α β (x ′ ) und wegen (5.20) gilt für jede Koordinatenfunktion dx i = dx ′ j ∂xi . (5.52) ∂x ′j Zusammen mit (5.44) heißt dies, daß zwar die Komponenten, nicht aber der Gradient dh selbst, vom Koordinatensystem abhängen, dh |p = dx i ∂ x ih |p = dx ′ j ∂xi ∂x ′j∂ x ih | p = dx ′ j ∂ x ′jh |p . (5.53) Für die Komponenten von Dualvektoren F = dx i F i in verschiedenen Koordinatensystemen besagt dies F ′ j(x ′ ) = ∂xi F ∂x ′ j i (x(x ′ )) . (5.54) | x ′ Zum Formelbild: Der Index j tritt auf beiden Seiten in gleicher Stellung auf, nämlich unten, und betrifft in beiden Ausdrücken Komponenten und Koordinaten des gleichen, des gestrichenen Koordinatensystems. Der Summationsindex i tritt auf der rechten Seite unten und oben auf und betrifft ungestrichene Koordinaten und Komponenten. Die Arugmente x und x ′ hängen miteinander zusammen, da sie die Koordinaten desselben Punktes p in verschiedenen Systemen sind. In Matrixschreibweise ergibt sich der Spaltenvektor der Komponenten F ′ durch Multiplikation von J T−1 mit dem Spaltenvektor der Komponenten F, F ′ = J T−1 F: bei Wechsel des Koordinatensystems transformieren die Komponenten von Dualvektoren kontragredient (3.110) zu den Komponenten von Tangentialvektoren v. Nur wenn J T−1 mit J übereinstimmt, wenn also J eine orthogonale Matrix ist (3.64), transformieren die Komponenten von Tangentialvektoren und Gradienten gleich. Vektor- und Dualvektorfelder Gehört zu jedem Punkt p einer Mannigfaltigkeit M genau ein Vektor u ∈ T p , beispielsweise das Strömungsfeld, das tangential an die Bahnkurven von strömenden Teilchen ist, so nennt man diese Menge aller Paare {(p, u(p)) , p ∈ M} ein Vektorfeld u. Streng genommen handelt es sich dabei nicht unbedingt um eine vektorwertige Funktion der
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Zum Formelbild: Der Index j tritt auf beiden Seiten in gleicher Stellung auf, nämlich<br />
oben, <strong>und</strong> betrifft in beiden Ausdrücken Komponenten <strong>und</strong> Koordinaten des gleichen,<br />
des gestrichenen Koordinatensystems. Der Summationsindex i tritt auf <strong>der</strong> rechten Seite<br />
unten <strong>und</strong> oben auf <strong>und</strong> betrifft ungestrichene Koordinaten <strong>und</strong> Komponenten. Das<br />
Argument x ′ ist das Transformierte von x.<br />
In Matrixschreibweise ergibt sich <strong>der</strong> Spaltenvektor <strong>der</strong> Komponenten v ′ als Produkt<br />
<strong>der</strong> Matrix J mit dem Spaltenvektor <strong>der</strong> Komponenten v, v ′ = J v.<br />
Die Äquivalenzklasse dh |p von Funktionen, <strong>der</strong>en Ableitungen bei p mit denen von<br />
h übereinstimmen, hängt nicht vom Koordinatensystem ab. Denn verwenden wir als<br />
Basis für dh |p die Äquivalenzklassen <strong>der</strong> Koordinatenfunktionen x(p) = φ α (p) o<strong>der</strong><br />
x ′ (p) = φ α (p), so sind die einen Koordinaten Funktionen <strong>der</strong> an<strong>der</strong>en, x(x ′ ) = φ α β (x ′ )<br />
<strong>und</strong> wegen (5.20) gilt für jede Koordinatenfunktion<br />
dx i = dx ′ j ∂xi . (5.52)<br />
∂x<br />
′j<br />
Zusammen mit (5.44) heißt dies, daß zwar die Komponenten, nicht aber <strong>der</strong> Gradient dh<br />
selbst, vom Koordinatensystem abhängen,<br />
dh |p = dx i ∂ x ih |p = dx ′ j ∂xi<br />
∂x ′j∂ x ih | p<br />
= dx ′ j ∂ x ′jh |p . (5.53)<br />
Für die Komponenten von Dualvektoren F = dx i F i in verschiedenen Koordinatensystemen<br />
besagt dies<br />
F ′ j(x ′ ) = ∂xi F<br />
∂x ′ j i (x(x ′ )) . (5.54)<br />
| x ′<br />
Zum Formelbild: Der Index j tritt auf beiden Seiten in gleicher Stellung auf, nämlich<br />
unten, <strong>und</strong> betrifft in beiden Ausdrücken Komponenten <strong>und</strong> Koordinaten des gleichen,<br />
des gestrichenen Koordinatensystems. Der Summationsindex i tritt auf <strong>der</strong> rechten Seite<br />
unten <strong>und</strong> oben auf <strong>und</strong> betrifft ungestrichene Koordinaten <strong>und</strong> Komponenten. Die<br />
Arugmente x <strong>und</strong> x ′ hängen miteinan<strong>der</strong> <strong>zu</strong>sammen, da sie die Koordinaten desselben<br />
Punktes p in verschiedenen Systemen sind.<br />
In Matrixschreibweise ergibt sich <strong>der</strong> Spaltenvektor <strong>der</strong> Komponenten F ′ durch Multiplikation<br />
von J T−1 mit dem Spaltenvektor <strong>der</strong> Komponenten F, F ′ = J T−1 F: bei Wechsel<br />
des Koordinatensystems transformieren die Komponenten von Dualvektoren kontragredient<br />
(3.110) <strong>zu</strong> den Komponenten von Tangentialvektoren v. Nur wenn J T−1 mit J<br />
übereinstimmt, wenn also J eine orthogonale Matrix ist (3.64), transformieren die Komponenten<br />
von Tangentialvektoren <strong>und</strong> Gradienten gleich.<br />
Vektor- <strong>und</strong> Dualvektorfel<strong>der</strong><br />
Gehört <strong>zu</strong> jedem Punkt p einer Mannigfaltigkeit M genau ein Vektor u ∈ T p , beispielsweise<br />
das Strömungsfeld, das tangential an die Bahnkurven von strömenden Teilchen<br />
ist, so nennt man diese Menge aller Paare {(p, u(p)) , p ∈ M} ein Vektorfeld u. Streng<br />
genommen handelt es sich dabei nicht unbedingt um eine vektorwertige Funktion <strong>der</strong>