Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

68 5 Funktionen mehrerer Variablen
nehmen, wobei die partiellen Ableitungen ∂ x ′jx i am Punkt p nach (5.40) gleich den
Ableitungen von x(x ′ ) bei x ′ = φ β (p) sind.
Aus dengleichen Gründen wie (5.44) gilt
∂ i = ∂x′ k
∂x i ∂′ k , (5.45)
denn welche Koordinaten wir x und welche wir x ′ nennen, ist unerheblich. In (5.44)
eingesetzt ergibt sich, weil die partiellen Ableitungen linear unabhängig sind,
∂x i ∂x ′ k
= δ k
∂x ′ j |x ′ (x) ∂x i j . (5.46)
|x
Wie bei (4.12) ist die Ableitung der inversen Transformation das Inverse der Ableitung
der Transformation.
Die Matrix der partiellen Ableitungen der Funktionen x ′ (x)
J j i(x) = ∂ i x ′ j | x
(5.47)
heißt Jacobimatrix [18] der Koordinatentransformation x ′ (x) .
Bei kartesischen und bei Kugelkoordinaten (5.30) ist sie
⎛ ⎞
∂r ∂r ∂r ⎛ x
y
∂x ∂y ∂z
√x J =
∂θ ∂θ ∂θ
⎜
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎟
⎠ = 2 +y 2 +z 2
⎜ zx
z y
⎝(x ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ
2 +y 2 +z 2 )
√x 2 +y 2 (x 2 +y 2 +z 2 )
∂x ∂y ∂z − y
x 2 +y 2
√
z
√x 2 +y 2 +z 2 x 2 +y 2 +z
√
2
x
− √x 2 +y 2
2 +y 2 x 2 +y 2 +z 2
x
0
x 2 +y 2
⎞
⎟
⎠ .
(5.48)
Für die Jacobi-Matrix der Umkehrfunktionen mit Matrixelementen N j k(x ′ ) = ∂ ′ k xj | x ′
erhalten wir in diesem Beispiel
⎛ ⎞
∂x ∂x ∂x ⎛
⎞
∂r ∂θ ∂ϕ
N = ⎜∂y
∂y ∂y
sin θ cosϕ r cosθcosϕ −r sin θ sin ϕ
⎟
⎝ ∂r ∂θ ∂ϕ⎠ = ⎝sin θ sin ϕ r cosθsin ϕ r sin θ cosϕ⎠ . (5.49)
∂z ∂z ∂z cosθ −r sin θ 0
∂r ∂θ ∂ϕ
Drückt man in (5.48) die kartesischen Koordinaten durch die Kugelkoordinaten aus, so
bestätigt Matrixmultiplikation in diesem Beispiel NJ = 1 (5.46).
Wegen (5.45) hängen die Komponenten von Tangentialvektoren v bei p in verschiedenen
Koordinatensystemen durch
v ′ j = ∂x′ j
∂x i vi (5.50)
miteinander zusammen, denn v = v i ∂ i = v i (∂ x ix ′ j )∂ x ′j = v ′ j ∂ ′ j . Für die entsprechende
Koordinatendarstellungen heißt dies
v ′ j (x ′ (x)) = ∂x′ j
∂x i | x
v i (x) . (5.51)