Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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Die zusammengesetzte Funktion h auf der Kurve f ist unabhängig vom verwendeten
Koordinatensystem. In jeder Karte gilt
h ◦ f = h α ◦ f α . (5.38)
Da die zusammengesetzte Funktion unabhängig vom Koordinatensystem sind, ist ihre
Ableitung, der Tangentialvektor ḟ = ḟi ∂ i angewendet auf h, unabhängig vom Koordinatensystem.
Wir fassen dabei die partiellen Ableitungen ∂ x ih |p von Funktionen der
Mannigfaltigkeit nach den Koordinaten x(p) = φ α (p) als Ableitung längs des Urbildes
der i-ten x-Koordinatenlinie auf und rechnen die Ableitung auf dieser Koordinatenlinie
als Ableitung von h α aus,
∂ x ih |p = d ds| s=0
h α (x 1 , x 2 , . . .,x i + s, . . .,x n ) , x = φ α (p) . (5.39)
Am Punkt p ∈ M ist die partielle Ableitung der Funktion h gleich der partiellen Ableitung
der Funktion h α bei φ α (p) ∈ R n ,
∂ x ih |p = ∂ x ih α|φα(p) . (5.40)
Ebenso definiert die Ableitung längs der x ′ -Koordinatenlinien eines weiteren Koordinatensystems
φ β durch
∂ x ′jh |p = d ds| s=0
h β (x ′1 , x ′1 , . . ., x ′ j + s, . . ., x ′ n ) , x ′ = φ β (p) (5.41)
die partiellen Ableitungen von h nach den x ′ -Koordinaten.
Es ist h β = h α ◦φ αβ (5.35) oder h β (x ′ ) = h α ((x(x ′ )). Auf der j-ten x ′ -Koordinatenlinie
durchläuft x einen Weg x(x ′ (s)), auf dem sich h α (x(x ′ (s)) gemäß (5.18) um
d
h β (x ′ (s)) = d h α (x(x ′ (s)) = dxi (x ′ (s))
∂
ds| s=0 ds| s=0 ds x ih α|x(x ′ ((0))
(5.42)
| s=0
ändert. Da die Ableitung dxi (x ′ (s))
ds | s=0
auf der j-ten x ′ -Koordinatenlinie definitionsgemäß
die partielle Ableitung nach x ′ j ist, zeigt dies die Kettenregel für partielle Ableitungen
oder kürzer
∂ x ′jh = ∂xi
∂x ∂ ′ j xih (5.43)
∂ ′ j = ∂xi
∂x ′ j∂ i . (5.44)
Zum Formelbild: Ein Index, hier j, zählt die Ableitung ab, hier nach den gestrichenen
Koordinaten. Er steht auf beiden Seiten unten und bei den gestrichenen Koordinaten.
Der Summationsindex, hier i, summiert ungestrichene Koordinaten mit Ableitungen
nach ungestrichenen Koordinaten. Die Ableitungen sind alle an demselben Punkt p zu