Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

64 5 Funktionen mehrerer Variablen
partielle Ableitungen bei x übereinstimmen. Wir bezeichnen die Äquivalenzklasse aller
Funktionen, deren Ableitung bei x mit der Ableitung von h übereinstimmt mit dh |x .
Insbesondere definieren die Koordinatenfunktionen
x i : (x 1 , x 2 , . . .x n ) ↦→ x i (5.19)
Äquivalenzklassen dx i . Sie bilden an jedem Punkt x eine Basis des Vektorraumes der
dort äquivalenten Funktionen h,
dh |x = dx i ∂ i h |x . (5.20)
Es haben ja bei x die Funktionen h und x i c i mit konstanten c i , die durch die Werte der
partiellen Ableitungen von h bei x gegeben sind, c i = ∂ i h |x , gleiche Ableitungen. Zudem
sind die Äquivalenklassen dx 1 , dx 2 , . . . an jedem Punkt linear unabhängig, denn die Linearkombination
x i c i ist nur dann äquivalent zu 0, wenn alle partiellen Ableitungen und
damit alle Komponenten c i verschwinden. Für Summen und Produkte von Funktionen
h und g und für Vielfache a ∈ R ergibt sich aus (5.20) in jedem Punkt und daher überall
für die Abbildung d, die Funktionen auf ihre Äquivalenzklassen abbildet,
d(h + g) = dh + dg , d(a h) = a dh , d(g h) = (dg) h + g (dh) . (5.21)
Kurven f durch x = f(0) bilden den Vektorraum der bei x äquivalenten Funktionen
linear auf Zahlen ab, nämlich auf ihre Ableitung längs der Kurve (5.18). Was diese lineare
Abbildung betrifft, so sind alle Kurven durch x einander äquivalent, deren Ableitungen
nach dem Kurvenparameter dort übereinstimmen. Als Tangentialvektor v = ḟ am Punkt
x definieren wir die Äquivalenzklasse von Kurven, die x mit gleicher Ableitung wie die
Kurve f durchlaufen. Tangentialvektoren bilden Funktionen h und g an jedem Punkt
linear und nach der Produktregel auf reelle Zahlen ab,
v(h + g) = v(h) + v(g) , v(ah) = a v(h) , v(g h) = v(g) h + g v(h) . (5.22)
Insbesondere sind die Tangentialvektoren an die Koordinatenlinien f j durch x (5.12) die
partiellen Ableitungen ∂ j|x (5.13). Sie bilden eine Basis des Tangentialraumes T x , denn
jeder Tangentialvektor v am Punkt x ist eine Linearkombination von ihnen,
v |x = v i ∂ i|x . (5.23)
Die Basis e i = ∂ i|x des Tangentialraumes am Ort x ist dual zur Basis dx j des zum
Tangentialraum T x dualen Raumes Tx ∗ der Äquivalenzklassen der bei x differenzierbaren
Funktionen,
∂ i x j = δ j i . (5.24)
In Räumen mit einem Skalarprodukt und Basisvektoren e 1 , e 2 , . . . kann man die Summe
∂ i h dfi als Skalarprodukt des Tangentialvektors ḟ = e dt i dfi und eines Vektors2
dt
2 gesprochen ”
Nabla h“.
∇h = e j (g −1 ) jk ∂ k h (5.25)