Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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Ableitung längs einer Kurve
Jede Funktion h : G ⊂ R n → R von n Variablen und jeder Weg f : I ⊂ R → G durch
das Definitionsgebiet von h definieren die zusammengesetzte Funktion, die Funktion h
ausgewertet auf dem Weg f,
{ I ⊂ R → R
n
h ◦ f :
t ↦→ h(f 1 (t), f 2 (t) . . .f n . (5.16)
(t))
Beispielsweise kann man einen Wanderweg als Funktion der Zeit t angegeben, f : I ⊂
R → R 2 , t ↦→ f(t) = (f 1 (t), f 2 (t)), dann ist die mit der Zeit durchlaufene Weghöhe die
verkettete Funktion h ◦ f : t ↦→ h(f 1 (t), f 2 (t)).
I ⊂ R ..
.
.
R n .
.
.
. . .
.
.
❳3
.. . . .
. . . .. .
.
. . . . .
f h
❳3
R
Abbildung 5.1: h ◦ f : I → R
Bei kleinen Änderungen von t um dt ändert sich die verkettete Funktion h ◦ f ein
wenig
h ◦ f(t) + dt ( df 1
h ◦ f(t + dt) = h ( f 1 (t) + dt df1
dt , f2 (t) + dt df2
dt , . . .) = (5.17)
dt ∂ 1h |f(t) + df2
dt ∂ 2h |f(t) + . . . ) = h ◦ f(t) + dt dfi
dt ∂ ih |f(t) .
Demnach ist die Ableitung der verketteten Funktion die Verkettung der Ableitungen 1
d(h ◦ f)
dt | t
= ∂ 1 h |f(t)
df 1
dt | t
+ ∂ 2 h |f(t)
df 2
dt | t
+ . . . = ∂ i h |f(t)
df i
dt | t
= dfi
dt | t
∂ i h |f(t) . (5.18)
Die Schreibweise ∂ i h ḟi betont, daß die Ableitungen in der Reihenfolge der Verkettung
von h◦f multipliziert werden (an Argumentwerten, die sich aus der Verkettung ergeben).
Die Schreibweise ḟi ∂ i h verdeutlicht, daß zur Kurve f ein Ableitungsoperator am Ort f(t)
gehört, die Richtungsableitung ḟi ∂ i .
Die Änderung der Funktion h längs der Kurve f durch x ist linear in den partiellen
Ableitungen der Funktion h und linear in den Ableitungen der Komponenten der Kurve
f. Die Änderung ergibt sich also wie in (1.23) durch Anwenden eines Vektors, der der
Kurve f zukommt, auf einen dualen Vektor, der zur Funktion h gehört.
Bedenken wir genauer, um welche Vektorräume es sich handelt: Die in einer Umgebung
von x differenzierbaren Funktionen bilden einen Vektorraum. Was ihre Ableitung
auf Kurven durch x betrifft, so sind alle Funktionen h einander äquivalent, deren
1 Die zusammengesetzte Funktion h ◦ f wird oft einfach kurz als h geschrieben. Dabei soll die Notation
dh/dt statt einer partiellen Ableitung ∂h anzeigen, daß h als Funktion einer Variablen, des
Kurvenparameters t, zu differenzieren ist.