Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

62 5 Funktionen mehrerer Variablen
Wir unterstellen, daß die partiellen Ableitungen ∂ 1 h , ∂ 2 h und ∂ 2 ∂ 1 h in einer Umgebung
U von (x, y) stetig sind und untersuchen die Differenz
∆(dx, dy) = h(x + dx, y + dy) − h(x, y + dy) − h(x + dx, y) + h(x, y) . (5.7)
Weil ∆(dx, 0) = ∆(0, dy) = 0 verschwindet, besagt der Mittelwertsatz (4.13), angewendet
auf diese Differenz als Funktion von dx und danach als Funktion von dy, daß
es Zahlen α 1 , β 1 und β 2 zwischen 0 und 1 gibt sowie Zwischenwerte x 1 = x + α 1 dx,
y 1 = y + β 1 dy und y 2 = y + β 2 dy mit
∆(dx, dy) = dx∂ 1 ∆(α 1 dx, dy) = dx ( ∂ 1 h(x 1 , y + dy) − ∂ 1 h(x 1 , y) ) =
dx dy ∂ 2 ∂ 1 h(x 1 , y 1 ) = dy∂ 2 ∆(dx, β 2 dy) = dy ( ∂ 2 h(x + dx, y 2 ) − ∂ 2 h(x, y 2 ) ) .
(5.8)
Durch dy geteilt besagt dies für dy = 0 und folglich bei y 1 = y 2 = y
∂ 2 h(x + dx, y) = ∂ 2 h(x, y) + dx∂ 2 ∂ 1 h(x 1 , y) . (5.9)
Also ist ∂ 2 h bei (x, y) nach x differenzierbar und ∂ 1 ∂ 2 h stimmt mit ∂ 2 ∂ 1 h überein.
In Umgebungen, in denen mehrfache partielle Ableitungen stetig sind, hängen sie nicht
von der Reihenfolge ab,
∂ 1 ∂ 2 h = ∂ 2 ∂ 1 h . (5.10)
Allgemeiner gelten diese Überlegungen für differenzierbare Funktionen h von n Variablen,
die in einer Umgebung U ⊂ R n von Punkten x = (x 1 , x 2 . . .x n ) definiert sind.
Der Gradient von h am Punkt x nähert Funktionsdifferenzen als lineare Funktion der
Änderungen (dx 1 , dx 2 . . .dx n ) des Arguments
dh |x = dx i ∂ i h |x . (5.11)
Dabei sind die partiellen Ableitungen die Ableitungen von h auf den Koordinatenlinien
f i : s ↦→ (x 1 . . .x i−1 , x i + s, x i+1 . . .x n ) , (5.12)
die als Funktion des Bahnparameters s für s = 0 den Punkt x durchlaufen.
∂ i h |x = d ds| s=0
h ◦ f i , f i (0) = x (5.13)
Auf der Koordinatenlinie f i sind die Koordinaten x j mit j ≠ i konstant und werden von
der Ableitung ∂ i übersehen,
∂ i x j = δ i j . (5.14)
Partielle Ableitungen genügend differenzierbarer Funktionen vertauschen
∂ i ∂ j = ∂ j ∂ i . (5.15)