Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

60 4 Die Ableitung
wenn man die komplexe Ebene aufschneidet, die Punkte auf einem Strahl vom Ursprung
mit einem festen Wert α = α ausnimmt und für die restlichen Punkte den Winkel aus
dem Bereich zwischen α und α+2π wählt. Wegen z = e lnr+i α = e lnz ist der Logarithmus
komplexer Zahlen,
lnz = ln |z| + i α(z) , (4.52)
ebenso wie der Winkel α in einer aufgeschnittenen, nicht aber in der ganzen Ebene stetig
und wohldefiniert. Weil der Winkel α bei der Definition des komplexen Logarithmus in
einem Bereich der Größe 2π gewählt werden muß, ist ln(z w) für komplexe Argumente
z und w nicht unbedingt lnz + lnw und ln(z n ) nicht immer n lnz.
Exponentialfunktion einer erzeugenden Transformation
Mit derselben Rechnung, mit der man die Eulerformel zeigt, leitet man her, daß die
Drehung D α⃗n (3.68) um den Winkel α um eine Achse ⃗n, ⃗n 2 = 1, als Exponentialreihe
einer linearen Abbildung α δ geschrieben werden kann,
⃗k = ⃗k ‖ + ⃗k ⊥ , ⃗k ‖ = ⃗n (⃗n ·⃗k) , ⃗k ⊥ = ⃗k − ⃗n (⃗n ·⃗k) ,
D α⃗n
⃗k = ⃗k ‖ + (cosα)⃗k ⊥ + (sin α) ⃗n × ⃗k ⊥ ,
D α⃗n = e α δ , wobei δ : ⃗k → ⃗n × ⃗k .
(4.53)
Da δ⃗k ‖ verschwindet, besteht die Reihe e α δ ⃗k ‖ nur aus dem ersten Term (α δ) 0 ⃗k ‖ = 1⃗k ‖ .
Auf ⃗k ⊥ wiederholt angewendet, ergibt δ wegen (2.53)
δ⃗k ⊥ = ⃗n × ⃗k ⊥ , δ 2 ⃗k ⊥ = ⃗n × (⃗n × ⃗k ⊥ ) = −⃗k ⊥ , δ 2n ⃗k ⊥ = (−1) n ⃗k ⊥ . (4.54)
Teilt man die e-Reihe e α δ ⃗k ⊥ wie beim Beweis der Eulerformel (4.35) in gerade und
ungerade Potenzen von α δ und bedenkt man δ 2n+1 = δδ 2n , so erhält man
e α δ ⃗k ⊥ =
∞∑
n=0
1
(2n)! (−1)n α 2n ⃗k ⊥ +
∞∑
n=0
= (cosα)⃗k ⊥ + (sin α)⃗n × ⃗k ⊥ .
1
(2n + 1)! (−1)n α 2n+1 ⃗n × ⃗k ⊥
(4.55)
Da die Abbildungen e αδ und D α⃗n auf alle Vektoren ⃗k gleich wirken, sind sie gleich.
Die Abbildung α δ heißt Erzeugende der Abbildung e α δ , α ist der Transformationsparameter.
Die Ableitung der Transformation nach dem Transformationsparameter an
dem Wert, der zur identischen Transformation gehört, δ = d
dα eα δ | α=0
, heißt infinitesimale
Transformation.